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三角比

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■0°≦θ≦90°で、sinθ-cosθ=2分の1のとき
 sinθcosθ=(ア)でsinθ+cosθ=(イ)である。

■sinθ-cosθ分のsinθ+cosθ=2の時、
 tanθ=(ア)、(sinθ+cosθ)^2=(イ)である。

この二問が解けません。
どうゆう風に解いていけばいいのでしょうか?
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回答 (全3件)

  • 回答No.1
レベル10

ベストアンサー率 38% (61/158)

はじめまして。

まず1問目から。両辺を2乗します。そうすると、
(sinθ-cosθ)^2=1/4 になります。左辺を展開して、
sin^2θ-2sinθcosθ+cos^2θ ですね。
ここで、sin^2θ+cos^2θ=1なので、
1-2sinθcosθ=1/4 左辺の1を移項し、-2で割ると
sinθcosθ=3/8 になります。

次に、 sin^2θ-2sinθcosθ+cos^2θ=1/4
の式にいったん戻ります。
ここで、両辺に4sinθcosθを加えます。そうすると、
sin^2θ+2sinθcosθ+cos^2θ=1/4+4sinθcosθ
ですね。ここで、sinθcosθ=3/8 と分かってるので、
代入して計算すると、右辺は7/4になります。
左辺を因数分解すると、(sinθ+cosθ)^2 ですね。
よって、(sinθ+cosθ)^2=7/4 になり、
2乗をはずして答えにします。

2問目はもう少しまってください。

  • 回答No.2
レベル11

ベストアンサー率 67% (126/186)

解法のヒントだけ
1問目
(sinθ-cosθ)^2 = (sinθ)^2 - 2 sinθcosθ + (cosθ)^2 = 1 - 2 sinθcosθ
を使えば(ア)は解けますね。(イ)も同様に2乗してから(ア)で求めた sinθcosθ
を使えば解けます。

2問目
与えられた式
(sinθ+cosθ)/(sinθ-cosθ)
の分子と分母をそれぞれcosθで割ると
sinθ/cosθ = tan θ を使って
(tan θ + 1)/ (tan θ - 1) と書けます。そこで(ア)はすぐ出るでしょう。

また
1+(tanθ)^2 = 1/(cosθ)^2
という公式が成り立ちます。(簡単ですからご自分で確かめて下さい。)
そこで

(sinθ+cosθ)^2 = (1 + tanθ)^2 × (cosθ)^2
= ((1 + tanθ)^2) / ( 1+(tanθ)^2 )
となりますから、先に求めたtanθを代入すれば(イ)も求まります。
  • 回答No.3

2.
sinθ+cosθ
────── の分母・分子をcosθで割る
sinθ-cosθ

tanθ+1
────=2 となる。tanθ+1=2tanθ-2 tanθ=3
tanθ-1
             1
また、1+(tanθ)^2=──── を使用する。
          (cosθ)^2

      1 
1 + 9 = ──── = 10
    (cosθ)^2

(cosθ)^2=1/10 よって cosθ=1/√10 (cosθ≧0)

米1問目は前回の回答者の通りでしょう。
 解き方は他にもいろいろあります。
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