合成関数の定義域

質問

f(x)=x^2-2x,g(x)=log(x)とするとき、合成関数g(f(x))が定義できるようにf(x)の定義域を制限せよ。

という問題なのですが、答えはx>2ということらしいです。
しかし、x<0でもf(x)>0となってg(f(x))が定義できるのではないのでしょうか？
確かにg(x)の定義域はx>0ですが、
g(x)単体の定義域は考慮しなくていいのではないのでしょうか？
なぜか使用している参考書に(この例だと)g(x)単体の定義域を考慮するかどうかについて
統一性がないので、困ってしまいました。

ご教授よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

No.2 さんの言うとおりで、答えは
x>2 でもよいし、x>10 でも x>365 でもよいのだろうと思います。
その範囲で g(f(x)) が定義されることに、違いはありません。
最も広い定義域をとろうというのであれば、
何も x<0, x>2 に絞らなくても、x は 0, 2 以外の任意の複素数
(複素平面から二点除外した集合)でよいはずです。
x を実数に限るのであっても、x を 0, 2 以外の任意の実数とすれば
g(f(x)) は定義されます。(0<x<2 で虚数値にはなりますけど。)
問題そのものが、何を要求しているのか明確に表現できていないから、
混乱するんですよ。

お礼

問題に欠陥があるようですね。きちんと問題を熟考して頂きたいものです。
ご丁寧なご回答ありがとうございました！

回答No.2

OurSQL

仰るとおりです。
合成関数 g f の定義域は、最も大きく取った場合、A = { x | x ∈ R, x < 0 または 2 < x } です。
けれど、問題文の解釈にもよるでしょうが、集合 A だけでなく、集合 A の部分集合であればすべて正解になるのではないでしょうか。

お礼

問題に欠陥があるようですね。丁寧なご回答ありがとうございました！

回答No.1

info22_

>という問題なのですが、答えはx>2ということらしいです。
　　　この答えが間違いですね。↑

>しかし、x<0でもf(x)>0となってg(f(x))が定義できるのではないのでしょうか？

質問者の言う通り真数条件f(x)＞0が定義域ななりますので
　x^2-2x=x(x-2)＞0
より
　定義域は 「x<0またはx>2」となります。

お礼

そうですよね。ありがとうございます！