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逆関数の合成関数について
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えっと 微分する。 その後積分する。 ∫d/dx(arctan(2tan(x)))=(1/2)x+3/2*∫1/(1+4(tanx)^2)dx tanx=t d(tanx)=dt ∫1/(1+4(tanx)^2)dx=∫1/2(1/(1+2itanx)+1/(1-2itanx))dx= =∫1/2(1/(1+2it)+1/(1-2it))*(1/(1+t^2))dt ∫(b*(1/(1+at))*1/(1+t^2))dt これは積分可能。以下iは虚数立方根 (b*(1/(1+at))*1/(1+t^2))=p/(at+1)+q/(t-i)+r/(t+i) とおく。 p=(2ai/(1-ai))*qa r=(1+ai)q/(ai-1) p+(q-r)i=b からp,q,rが求まる。 定数項ずれるので初期値を代入して終わり。
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脱字訂正! a = atan{tan(x)/(1 + 2*tan^2(x))} とすれば、(1) が成立。 つまり、 arctan(2tan(x)) = x + atan{tan(x)/(1 + 2*tan^2(x))}
>arctan(2tan(x)) >というように逆関数を何倍かしたものを合成するとどのようになるのでしょうか。これ以上簡単にできないと思うのです....... 「簡単にできない」のか否かは別にして、 tanθ= 2*tan(x) …(1) の勘定だけでも…。 たとえば θ= x+a の場合なら、tan の加法定理により、 a = atan{tan(x)/(1+tan^2(x))} とすれば、(1) が成立。 つまり、 arctan(2tan(x)) = x + atan{tan(x)/(1+tan^2(x))}
- nious
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例えばですが反対に、tan(2arctan(x))の場合だと、 「倍角の公式(または加法定理)」を使って、tan(2arctan(x))=2x/(1-x^2) と書き換える事ができます。では2tan(x)はどうでしょうか。
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