合成関数の積分

質問

合成関数の積分についてなのですが(x-1)^-2はあたかもxを積分するかのように-(x-1)^-1となりますが、(x^2-1)^-2の場合は無理なのでしょうか。また、1/{(x+2)^2+1}の場合はtan^-1(x+2)となるのでしょうか。合成関数の部分がxの一次式ならこのようにしてもいいのでしょうか。

回答No.2

arrysthmia

「合成関数の微分」が
dz/dx = (dz/dy) (dy/dx) または
(d/dx) F(g(x)) = F’(g(x)) g’(x) ですから、
その逆操作である「置換積分」は、
F(g(x)) = ∫ F’(g(x)) g’(x) dx です。
式を F’(t) = f(t) で書き換えた
∫ f(y) dy = ∫ f(g(x)) g’(x) dx の形のほうが
見慣れているかもしれません。
g(x) が x の一次式 g(x) = ax+b ならば、
∫ f(y) dy = a∫ f(ax+b) dx となりますね。
更に a = 1 のときは、
∫ f(y) dy = ∫ f(x+b) dx です。
これが、(x-1)^-2 で貴方のやったことです。
g(x) が一次式でなければ、
右辺の積分に g’(x) が残ることになります。

回答No.1

info22

> 無理なのでしょうか。
無理です。

> 1/{(x+2)^2+1}の場合はtan^-1(x+2)となるのでしょうか。
そうなります。

> 合成関数の部分がxの一次式ならこのようにしてもいいのでしょうか。
一次式ならよい訳ではありません。
一次式で、かつ xの係数が１の時だけです。