dy/dxの求め方が分かりません。

質問

(x^3) - 3(x^2)y + (y^3) = 0

上記の式(陰関数)から、dy/dxを求める問題が分かりません。

どうかご教授お願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

積の微分、合成関数の微分は、大丈夫ですよね？
万が一怪しい場合も考えて、項ごとに、微分してみます。

x^3をxで微分するのは、普通にやればいいので、(x^3)' = 3(x^2)、

(x^2)yをxで微分するのは、積の微分・(f*g)' = f'*g + f*g' を使って、
{(x^2)y}' = (x^2)'*y + (x^2)*y' = 2xy + (x^2)(dy/dx)、

(y^3)をxで微分するのは、yがxの関数の場合は
(でなければ、定数ということで、微分は0になる)
合成関数の微分・((y^3)をyで微分したもの)*(yをxで微分したもの)を使って、
(y^3)' = 3(y^2)*y' = 3(y^2)(dy/dx)

なので、
(x^3)-3(x^2)y+(y^3)=0の両辺をxで微分すると、
3(x^2) - 6xy - 3(x^2)(dy/dx) + 3(y^2)(dy/dx) = 0
(x^2) - 2xy - (x^2)(dy/dx) + (y^2)(dy/dx) = 0
(x^2 - 2xy) - (x^2 - y^2)(dy/dx) = 0
(x^2 - 2xy) = (x^2 - y^2)(dy/dx)
よって、dy/dx = (x^2-2xy)/(x^2-y^2)

お礼

ありがとうございます。
大変わかりやすかったです。