- ベストアンサー
コーシーの定理の問題がわからないです
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
←A No.1 補足 質問文中に出てきた積分路は、C だけですね。 C1 や c の定義は、どこかに書いてありませんでしたか? 山勘ですが、おそらく、 C を虚軸あたりで二つに分けて、半円の周を C1 と c にした のではないかな? 分割線上の積分は、同じ曲線を反対方向に積分しているので 相殺されて、∫[C]f(z)dz = ∫[C1]f(z)dz + ∫[c]f(z)dz です。 C1 が z=-1 は囲まないが z=1 は囲む、 c が z=-1 は囲むが z=1 は囲まない閉路になっていれば、 コーシーの積分定理から ∫[C1] 1/(z+1) dz = 0, ∫[c] 1/(z-1) dz = 0 になります。 留数定理を 1/((z+1)(z-1)) に適用するにあたって 補足のように積分を分割したくなった理由は、サッパリ理解できませんが。
その他の回答 (2)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
解答を書かないで、その解答について分からないと言われても回答する立場では何もコメントできません。 通常の複素積分で積分するなら、コーシーの積分定理、コーシーの積分公式、留数定理を使えば済むことです。 部分分数に展開しないで積分する方法も、部分分数に展開して積分する方法もあります。どちらを使うかは好みの問題です。 積分経路C(原点を中心とする半径2の円周)内に正則でない特異点としてz=±1の2つ存在しますので コーシーの積分公式を使えば ∮[C] z/{(z+1)(z-1)}dz=2πi{z/(z+1)|(z=1) + z/(z-1)|(z=-1)} =2πi{(1/2)+(1/2)}=2πi 部分分数に直す方法(留数定理利用)なら ∮[C] z/{(z+1)(z-1)}dz=(1/2)∮[C] {1/(z+1)+1/(z-1)}dz =(1/2)∮[C] dz/(z+1) +(1/2)∮[C] dz/(z-1) =(1/2)2πiRes(1/(z+1),-1) + (1/2)2πiRes(1/(z-1),1) =πi + πi =2πi とどちらの方法でも同じ結果が得られます。
お礼
なるほど、こちらの方法で解かせていただきます
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
0 には、なりませんよ。 ∫ z/((z+1)(z-1)) dx = (1/2)∫ 1/(z+1) dz + (1/2)∫ 1/(z-1) dz で、右辺のふたつの ∫ は、どちらも C 上で 0 ではありません。 解答の間違いか、貴方の読み違いか、どちらでしょうね。 解答の計算過程と、できれば貴方の解も、補足に書いてみては?
補足
(与式)= 1/2∫{1/(z+1) + 1/(z-1)}dz + 1/2∫{1/(z+1) + 1/(z-1)}dz = 1/2(0+2πi)+1/2(2πi+0) = 2πi 解答はこのようになっていました。左の∫にはC1、右の∫にはcと書いてありました。
関連するQ&A
- 複素関数(コーシーの積分定理)
複素関数の問題について質問です。 以下の問題について解いてみたのですが問題集の答えと合わずに苦しんでおります。 (1) I1=∫Cdz[1/z^2(z-1)] C:|z|=2 (2) I2=∫Cdz[1/z^3-1] C:(x^2)/2 + (y^2)/3=1 (z=x+iy) 申し訳ありませんが間違えをご指摘いただけませんでしょうか? よろしくお願いしますm(_ _)m 解答は (1): 2πi (2): 2πi/3 となっています。 (1)部分分数に分解して I1=∫Cdz[-1/(z) -1/(z^2) + 1/(z-1)] ここでf(z)=1とおけばf'(z)=0よりコーシーの積分定理から I1=2πi[-f(0)-f'(0)+f(1)]=2πi[-1-0+1]=0 ■ (2)部分分数に分解して ω1=(-1+i√3)/2, ω2=(-1-i√3)/2 とおくと I2=∫Cdz[1/3{1/(z-1) +ω1/(z-ω1)+ω2/(1-ω2)] f(z)=1とおけば I2=2πi[f(1)+ω1*f(ω1)+ω2*f(ω2)] =2πi[1+ω1+ω2] =2πi[1-1] =0 ■
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数の問題の解答解説を教えてください。
複素関数の問題の解答解説を教えてください。 f(z)は正則でf(1) = 2(1 + i), f(-it) = f(it)および∫[0→2]f(it)/((t^2)+1) dt = πi を満たすとする。 c ∶ z = 2e^(iθ) (-π/2≤ θ ≤π/2) とするとき∫c f(z)/((z^2)-1) dz を計算しろ お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- コーシーの積分定理
こんにちは。僕は今コーシーの積分定理を勉強しているものです。 コーシーの積分定理を使った問題で、どうしても解法がよくわからない問題があるのでお願いします。 ∫[C] z^3/(z-4)^2dz (C:|z|=2) という問題です。この問題に限らず、分母が2乗の形になっているような問題がわかりません。 他の問題だと、z^3/(z-4)/(z-4)のような形にして、f(ξ)=ξ^3/(ξ-4)として解けるのですが、もちろんこの問題だとf(ξ)の分母が0になってしまい、困ってしまいます。 こういった問題はどのような解法を用いればいいのでしょうか。 お手数ですが、おわかりになる方いらっしゃいましたら、ご教授いただけると幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 複素関数 留数定理
∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dz の計算 C : √2 * e^(iθ) (π/4 ≦θ≦5π/4) f ( i ) = 1/3 また, ∫{f((i + 1)t)/(1 + 2it^2)) dt = π/6である. ・・・※ ∫[C] {f (z) / ( 1 + z^2 )} dzを求める過程を教えて下さい. -1-iから1+iに至る直線Ct: (i + 1)t (-1 ≦ t≦ 1)を 考え, ∫[C + Ct] = 2πi Res{f , i} だと考えたのですが, ここから先が分かりません. ※の(i + 1)t が同じなので, それをうまく 利用するというのは分かるのですが, どのように使うのかが分かりません よろしくお願いします. z = i が1位なのか2位なのかという点も教えて下さい.
- 締切済み
- 数学・算数
- 急ぎです、部分分数分解について
急ぎです、部分分数分解について 原点を中心とする、半径2の円環の経路で以下の複素積分 ∫{e^z/(z^2+1)^3}dz を計算しています。 コーシーの積分定理を使うために、1/(z^2+1)^3を部分分数分解しようとしたのですが、 導き方がわからずうまくいきません。 1/(z^2+1)^3を部分分数分解できますか?また、できたとするとどうなりますか? 恥ずかしながらやり方が根本的に違っている時は、指摘して頂けると有難いです。 ちなみに、 1/(z^2+1)^3 ={1/(z+i)(z-i)}^3 =1/(z+i)^3・(z-i)^3 でつまづきました…
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 留数定理を用いる計算
曲線Cが|z-i| = 1 で表される円であるとき、∫c {(e^z)/(z^4 -1)}dz の値を求めよ という問題にて、 (z^4 -1)=(z+i)(z-i)(z+1)(z-1) Cはz=iを中心とした半径1の円なので、正則で無い点はz=iのみ z=iにおける留数 Res[f,i]=lim[z→i](z-i)f(z) =(e^i)/{2i(i+1)(i-1)} =(e^i)/(-4i) 留数定理より、 ∫c {(e^z)/(z^4 -1)}dz =2πi{-(e^i)/4i} =-πei/2 と計算しました しかし、解答は -{(πcos1)/2} - {(πsin1)i}/2 とのことでした。 解答から、正則で無い点が2つ、それぞれが2位の極だと考えたのですが、見当がつきません ご教授、お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど、このような例もあるといった形だったのかもしれません。先ほど解答いただいた方法で解いてみようと思います。