急ぎです、部分分数分解について

質問

急ぎです、部分分数分解について
原点を中心とする、半径2の円環の経路で以下の複素積分
∫｛e^z/(z^2+1)^3｝dz
を計算しています。
コーシーの積分定理を使うために、1/(z^2+1)^3を部分分数分解しようとしたのですが、
導き方がわからずうまくいきません。
1/(z^2+1)^3を部分分数分解できますか？また、できたとするとどうなりますか？
恥ずかしながらやり方が根本的に違っている時は、指摘して頂けると有難いです。

ちなみに、
1/(z^2+1)^3
＝｛1/(z+i)(z-i)｝^3
＝1/(z+i)^3・(z-i)^3
でつまづきました…

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

複素積分するなら部分分数展開より半径2の円内の一位の極z=±iにおける留数を求めればいいと思いますが、いかがですか？

e^z/(z+i)^3=(ie^i)/8+((2i-3)(e^i)/16)(z-%i)+((-3-2i)(e^i)/16)(z-i)^2-((8i-3)e^i)/48)(z-i)^3+...
f(z)=e^z/(z^2+1)^3=((ie^i)/8)(z-i)^(-3)+((2i-3)(e^i)/16)/(z-i)^(-2)
+((-3-2i)(e^i)/16)(z-i)^(-1)-((8i-3)e^i)/48)+...
Resf(i)=lim[z->i] (z-i)f(z)=(-3-2i)(e^i)/16
同様にして
Resf(-i)=lim[z->-i] (z+i)f(z)=(-3+2i)(e^(-i))/16

留数定理から
I=∫[|z|=2] e^z/(z+i)^3dz=2πi{Resf(i)+Resf(-i)}

で積分が求まります。

補足

回答ありがとうございます。
留数定理があるのですね。

e^z/(z+i)^3の展開はどのようにやっているのでしょうか？

そこ以外は理解することができました。
初歩的なことでお手数おかけして申し訳ないです。

回答No.5

info22_

#3,#4です。

A#3の補足の質問の回答
>e^z/(z+i)^3の展開はどのようにやっているのでしょうか？
e^z を z=iのまわりにテーラー展開しているだけです。

テーラー展開後 (z-i)^3で割れば
(e^z)/(z^2+1)^3　のz=iのまわりのローラン展開になります。
その中の1/(z-i)の項の係数が留数 Resf(i) になります。

お礼

詳しくありがとうございます！
理解できました。本当に感謝です。

回答No.4

info22_

#3です。

念のため
A#3の最後の留数定理による積分を計算すると

I=i(π/4){2sin(1)-3cos(1)}

となります。

回答No.2

178-tall

>1/(z^2+1)^3 ＝｛1/(z+i)(z-i)｝^3 ＝1/(z+i)^3・(z-i)^3

　= a/(z+i)^3 + b/(z-i)^3
とおくと、b = a~ (a~ は a の共役値、を示す) 。

実際、上記等式の両辺に (z + i)^3 または (z - i)^3 を掛けて z = -i または z = i とすれば、
　1/(-2i)^3 = a
　1/(2i)^3 = b = a~

補足

ありがとうございます。
部分分数分解をした結果
aとbは共役の関係で、不定になったということでしょうか？

回答No.1

Anti-Giants

留数定理を使います。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%95%99%E6%95%B0

お礼

ありがとうございます。
留数定理を忘れていました。