部分分数分解について

質問

有理関数の原始関数を求める(積分する)ときに、その有理関数を部分分数分解するケースがあると思います。

この部分分数分解はある程度センスでやるものですか？

部分分数に分解する手順等があれば教えてほしいです。

よろしくお願いします。

回答No.1

WiredLogic · ベストアンサー

＞この部分分数分解はある程度センスでやるものですか？

すばやくやろうと思うと、前もって数式を見るセンスはあった方が有利ですが、
それなりの原則はあって、それにしたがって練習していけば、センス自体も
だんだん身についてくる、程度のものでもあります。

一番、簡単なケース、分母が、2次式で、１次式の積に因数分解できるような場合は、
A/一次式１ + B/一次式２　= (A*一次式２ + B*一次式１)/２次式　で、
分子が元の式の分子に一致するように、A,Bを決めるのが、基本のやり方。

センスを身に付けたいなら^^、まずは、1/一次式1 ± 1/一次式２ を計算してみて、
どちらかの分子が元の分子と似た形、大抵は定数倍とかになるので、２倍になってたら
全体を半分する、とか、そういう方向から考えて、それでうまくいかない場合には、
上の方法で、連立方程式を解く、などとやっていくようにすると、簡単な場合は、
一目で見えるようになるので、長い目でみると、時間の節約になるかと。

元の分母が３次式で、１次式と２次式の積に因数分解できるときなら、
A/一次式 + (Bx+C)/二次式 のような形で考えます。

勿論、どの場合でも、分子の次数≧分母の次数のときは、帯分数化というか、
普通の多項式になる部分は、別にして、分子の次数＜分母の次数にしておかないと
いけません。

また、分子が、分母を微分した形の定数倍を含むとき、
たとえば、(4x+5)/(x^2+x+1)なら、
(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
となり、前半は、簡単に2*log(x^2+x+1) と積分できるので、
こういうところも分けておくと、後がやりやすくなります。

センス、というか、色々、総合的な知識が問われるようなケースとしては、
(x^2+1)/(x^4+1) のような場合、分母が、
x^4+1 = x^4+2x^2+1-2x^2 = (x^2+1)^2 - (√2*x)^2 = (x^2-√2*x+1)(x^2+√2*x+1)
と因数分解できることに気づかないと、永遠に固まったままになってしまいます。

1/(x^2-√2*x+1) + 1/(x^2+√2*x+1) = (2x^2+2)/(x^4+1) なので、元の式は、左辺の半分、

もうひとつは、部分分数分解しても、一つ一つの分数式が積分できないと意味がない訳ですが、
上の２例のようなパターンの場合、たとえば、x^2+x+1 = (x+1/2)^2 + 3/4 ならば、
x + 1/2 = (√3/2)tanθのような置換で、積分することができます。

質問者さんが高校生だとしたら、このあたりまで必要になるのは、相当の難関大学の入試だと思いますが。

補足

回答ありがとうございます。

追加で、1点だけ教えてください。

まず、

(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)

ではないでしょうか？

で、後半の3/(x^2+x+1)は

x + 1/2 = (√3/2)tanθ

置いて置換積分できるとのことですが、

x + 1/2 = (√3/2)t

とかの間違いではないでしょうか？

回答No.3

WiredLogic

#1です。すみません、ご指摘の件、私のミスタイプでした。m(__)m
(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)
が正しくて、質問者さんも、２行目修正し損ねたのとオアイコということで
(さすがに、そういう訳にはいかないか^^)

＞1/(x^2+1)　の積分は、置換しなくてもすでに、tan^(-1)xですよね？

なるほど、大学生さんでしたか。てっきり、高校生かと思って回答書いてました。
そこらへんのバックグラウンドは、書いておくと、より適切な回答が得られますよ。

お礼

レスポンスどうもありがとうございました。

納得しました。

回答No.2

nag0720

＃１さんの回答への補足について

＞= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 1/(x^2+x+1)
＞= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)
＞ではないでしょうか？

(x^2+x+1)'=(2x+1)
ですからその部分を置き換えただけです。
どうして、3がでてきたんでしょうか？

＞x + 1/2 = (√3/2)t
＞とかの間違いではないでしょうか？

1/(x^2+1)　の積分は、x=tanθと置いて置換積分するのが常道です。
x + 1/2 = (√3/2)tanθ
と置くのはその応用です。
x + 1/2 = (√3/2)t
と置いてもいいですが、そのあとさらにt=tanθと置くことになりますから、結局は同じことです。

補足

ちょっと書き方が悪かったです。

もともと、式が

(4x+5)/(x^2+x+1)

となっていたので、

(4x+5)/(x^2+x+1)
= 2(2x+1)/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)
= 2(x^2+x+1)'/(x^2+x+1) + 3/(x^2+x+1)

が正しいのでは？という指摘でした。

1/(x^2+1)　の積分は、置換しなくてもすでに、tan^(-1)xですよね？

だから、この形にもっていくもんだと思っていました。