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部分分数展開でやる方法でいいと思います． u+u^3=u(1+u^2)なので (3+u^2)/(u+u^3)=A/u+(B+Cu)/(1+u^2) と展開します．両辺u+u^3をかけると， 3+u^2=A(1+u^2)+(B+Cu)u=A+Bu+(A+C)u^2 → A=3, B=0, C=-2 となります．よって， ∫(3+u^2)/(u+u^3) du =∫(3/u-2u/(1+u^2))du =∫(3/u-(1+u^2)'/(1+u^2))du （←'はuの微分） =3*log|u|-log(1+u^2)+const.
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