微分方程式なのですが・・・２

質問

いつもお世話になっております。今回の問題は・・・正直微分方程式には関係してない疑問なのかもしれませんが、わからなかったので質問させていただきました。

xy'+(1+x)y=e^x
この問題の解答の途中でxに絶対値がついたのですが（積分したら対数になり、log|x|という形になったので）これの絶対値のはずし方がよくわかりません。よろしくお願いします。

以前この問題を質問させていただいた際、回答してくださった方が「左辺＝０として基本解を求める」とおっしゃっていたのですが、私も見間違えでそのまま理解していたのですが、実は右辺にe^xがあり、それに触れていないので実際の答えとは違っていました。なので何度も申し訳ないのですが質問させていただきます。よろしくお願いします。

回答No.2

WiredLogic · ベストアンサー

#1さんのように言ってしまいたい気もあるのですが、
前回の回答で、理解していただけなかったのは、残念ですが、
解るように説明できなかったせいもあるかと思うので、
再度、説明してみます。

質問は「これの絶対値のはずし方がよくわかりません」ですよね？
「一般解を求めてほしい」だったのなら、それはそれで考えましたが、
途中で出た絶対値の消し方、または、大抵の場合は、消えてしまう仕組
のことを解りやすくするには、プロセス自体が長いと、見えにくくなるので、
「とりあえずは、左辺=0で、基本解を出すところだけで、十分ですよね？」
と念を押して、質問への答が見えやすい形にしました。実際、そこの
ポイントについては、わかりやすかったはずです。
仮に「一般解」でやったとしても、本質ややり方は同じ、
式が複雑でポイントが見えにくくだっただけです。

もしも、「基本解」という言葉が理解できなければ、そこで質問して
ほしいところでした。「一般解」なら、その教科書をみても、同じ言葉
ですが、実は、「基本解」「特殊解」は、少し違う言葉になっている
こともありますから。

そのへんを説明すると、y' + P(x)y = Q(x) 形の微分方程式の場合は、
y' + P(x)y = 0 の一般解が、「基本解」(積分定数Cが入っています)
y' + P(x)y = Q(x) を満たす解の、何でもいいから１つが「特殊解」、
一般解は、「一般解」＝「基本解」＋「特殊解」で求まります。

「特殊解」は、原理的にはいくらでも存在するので、マグレでも、
たまたまでも、方程式に当てはめて成り立てば、ＯＫ。
ということで、こっちには、積分定数Cは不要です。

当然、前回、答ではなく、絶対値の消し方のサンプルとして、プロセス
を見せただけの「基本解」が、模範解答に出ている「一般解」と違うのは
当然のことで、そういう話は、用語が多少違っても、どの教科書にも、
ハッキリ出ています。

「特殊解」の求め方ですが、コツが必要ですが、手っ取り早いのが、
こんな形と言う見当を付けて、代入して、確かめる方法。
例えば、右辺が多項式なら、やはり多項式で、y = A + Bx + Cx^2 + …
みたいな形を、適当な次数(右辺の次数くらい)まで代入して、
成り立つように係数を決めます。
右辺が、sinx や cosx の形なら、y = A*sinx + B*cosx、
右辺が、e^x や e^(-x)なら、y = A*e^x + B*e^(-x)を代入して、
成り立つような、A,Bの値を調べる。こういうのが、基本パターンです。

この問題は、右辺=e^x ですが、左辺のy'に、xがかけてあるので、
両辺をx で割り、y' + …y = e^x/x として、右辺=e^x/x で考えます。
これなどは、Ae^x/xでいける、と考えられるのは、経験の産物なので、
思いつかなければ、他の方法を考える必要があります。
(ただ、このヤマを張る手に比べると、手順は長くなります)

代表的な手段が、y = 基本解×u (uはxの関数)とおいてみる、
y' = (基本解)'×u + 基本解×u' を使って、元の式に代入。
出だしは、複雑に見えますし、実際、面倒ではありますが、
計算していくと、うまく出来ていて、あちこちが消えて、
uが求められる形になっていきます。これを設定どおり、
基本解にかけたら、一般解です。

これをどんな場合でも成り立つように作ったのが、公式で、
簡単めの積分×複雑めの積分の形になっているのは、
そのせいで、頭の簡単めの方が、基本解、ということです。

２次方程式を解くとき、パッと思いついて因数分解できると、
最速、それが無理でも、割と簡単な形なら、平方完成が解り
やすい、それに対して、覚えるのが面倒だけど、どうしてもの
ときはこれで何でもとけるのが、解の公式、というのと、
似たような図式で、順に、ヤマはり法、基本解×u、公式、
と言う感じになります。

回答No.3

alice_44

基本解云々は別として、今回質問のほうを…

微分方程式を解く過程で log｜x｜ が現れたとき、
x＞0 の範囲の解と x＜0 の範囲の解は、
x→0 の極限で繋がる場合も繋がらない場合もあり、
個々の例で検討しなければなりません。

x＞0 の範囲と x＜0 の範囲を場合分けして
それぞれの範囲での一般解を求め、
例えば、初期条件が x＞0 で与えられた際は、
x＞0 側の一般解に初期条件を代入して
特殊解を求めた後、x→+0 の極限を計算します。
そして、x＜0 側の一般解の中に x→-0 の極限で
それと繋がるものがあるか考察するのです。
y だけでなく、y' の値も
x→0 で一致する必要があります。

回答No.1

Tacosan

「基本解がど～たらこ～たら」って, 本質的にはあなたの疑問と無関係だよね.