高1 数学の問題です

質問

関数ｙ=x二乗-2x-1（0≦x≦a）の最大値と最小値を.次の(1)～(4)の場合について求めよ。
(1)0＜a＜1
(2)1≦a＜2
(3)a=2
(4)2＜a

教えてください．
お願いしますm(_ _)m

回答No.5

yyssaa

(1)の再回答を含めて、(1)～(4)を回答します。
グラフの方が解きやすいと思いますが、グラフに頼らない方法で回答
します。
最大値、最小値に関する問題の場合は、それらの値が得やすいように、
まず関数の二次式を変形します。
以下、特にことわらない限り二乗は^2と表記します。
ｙ=x^2-2x-1=(x-1)^2-1-1=(x-1)^2-2と変形すると、
右辺の(x-1)^2はxの値にかかわらず(x-1)^2≧0ですから、(x-1)の
絶対値｜x-1｜が大きいほどyは大きくなり、｜x-1｜が小さいほどyは
小さくなり、特に、｜x-1｜=0すなわちx=1のときに、yは最小値-2
となることが分かります。

(1)0＜a＜1のときは、0≦x≦aと0＜a＜1とからxの範囲は0≦x≦a＜1、
x＜1よりx-1＜0となるので、絶対値の定義により｜x-1｜=1-x、
従って1-xが最大のときにyは最大値となり、1-xが最小のときにyは
最小値になります。
0≦x≦aの各辺に-1をかけて0≧-x≧-a、各辺に1を足して1≧1-x≧1-a、
よって1-xの最大値は1、最小値は1-aとなるので、これらを
ｙ=(x-1)^2-2に代入すると、yの最大値=(-1)^2-2=1-2=-1、
yの最小値=(a-1)^2-2となり、0＜a＜1から-1＜a-1＜0、1＞(a-1)^2＞0、
各辺に-2を足して-1＞(a-1)^2-2＞-2、-1＞yの最小値＞-2となるので、
yの最小値は-2より大きいというだけで、値を特定できません。
よって答えはyの最大値＝－１、yの最小値はなし　ということになります。

(2)1≦a＜2のときは、0≦x≦aから-1≦x-1≦a-1、1≦a＜2から0≦a-1＜1
よって0≦(x-1)^2≦1となり、(x-1)^2の最大値は1、最小値は0となります。
これらの値をｙ=(x-1)^2-2に代入して、yの最大値=1^2-2=-1、yの最小値は
yの最小値=0^2-2=-2
よって答えはyの最大値＝－１、yの最小値＝－２　ということになります。

(3)a=2のときは、0≦x≦2、-1≦x-1≦1、0≦(x-1)^2≦1となり、(x-1)^2の
最大値は1、最小値は0となります。これらの値をｙ=(x-1)^2-2に代入して、
yの最大値=1^2-2=-1、yの最小値=0^2-2=-2
よって答えはyの最大値＝－１、yの最小値＝－２　ということになります。

(4)2＜aのときは0≦x≦aから-1≦x-1≦a-1、2＜aから1＜a-1、
よって0≦(x-1)^2≦(a-1)^2となり、(x-1)^2の最大値は(a-1)^2、最小値は
0となります。これらの値をｙ=(x-1)^2-2に代入して、
yの最大値=(a-1)^2-2、2＜aから1＜a-1、1＜(a-1)^2、-1＜(a-1)^2-2
-1＜yの最大値となり、yの最大値は-1より大きいというだけで、値を特定
できません。yの最小値=0^2-2=-2
よって答えはyの最大値はなし、yの最小値＝－２　ということになります。

回答No.4

yyssaa

とりあえず（１）について回答します。（２）～（４）は後ほど回答します。
グラフの方が解きやすいと思いますが、グラフに頼らない方法で回答します。
最大値、最小値に関する問題の場合は、それらの値が得やすいように、
まず関数の二次式を変形します。
以下、特にことわらない限り二乗は^2と表記します。
ｙ=x^2-2x-1=(x-1)^2-1-1=(x-1)^2-2と変形すると、
右辺の(x-1)^2はxの値にかかわらず(x-1)^2≧0ですから、(x-1)の絶対値
｜x-1｜が大きいほどyは大きくなり、｜x-1｜が小さいほどyは小さくなり、
特に、｜x-1｜=0すなわちx=1のときに、yは最小値-2となりことが分かります。

(1)0＜a＜1のときは、0≦x≦aと0＜a＜1とからxの範囲は0≦x≦a＜1、
x＜1よりx-1＜0となるので、絶対値の定義により｜x-1｜=1-x、
従って1-xが最大のときにyは最大値となり、1-xが最小のときにyは
最小値になります。
0≦x≦aの各辺に-1をかけて0≧-x≧-a、各辺に1を足して1≧1-x≧1-a、
よって1-xの最大値は1、最小値は1-aとなるので、これらをｙ=(x-1)^2-2に
代入すると、yの最大値=(-1)^2-2=1-2=-1、yの最小値=(a-1)^2-2となり、
0＜a＜1から-1＜a-1＜0、1＞(a-1)^2＞0、各辺に-2を足して-1＞(a-1)^2-2＞-2
-1＞yの最小値＞-2となるので、yの最小値はー２より大きいというだけで、
値を特定できません。
よって答えはyの最大値＝－１、yの最小値はなし　ということになります。

回答No.3

noname#146456

慣れてしまえば簡単な場合分けの問題だと思いますが
初めてですと混乱するかもしれません。

まず
y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2
と平方完成できるのでこのグラフの頂点は(1,-2)となります。

すると
(1)このときの0≦x≦aの部分のグラフは下図(1)の赤線部分の
ようになるので
最大値はx=0のときの-1
最小値はx=aのときのa^2-2a-1
となります。

(2)このときの0≦x≦aの部分のグラフは下図(2)の赤線部分の
ようになるので
最大値はx=0のときの-1
最小値はx=1のときの-2
となります。

(3)このときの0≦x≦2の部分のグラフは下図(3)の赤線部分の
ようになるので
最大値はx=0,1のときの-1
最小値はx=1のときの-2
となります。

(4)このときの0≦x≦aの部分のグラフは下図(4)の赤線部分の
ようになるので
最大値はx=aのときのa^2-2a-1
最小値はx=1のときの-2
となります。

回答No.1

noname#181872

ひとまず、ｙ=x二乗-2x-1のグラフを描いてごらん。
式の中にaが入っているわけではないから、これぐらい描けるでしょ？

そしたらaを変化させて、定義域が変化した場合、
グラフのどこからどこまでが有効かということを考えればいいだけ。