数学

質問

次の関数に最大値、最小値があれば、それを求めよ

(1)Y=X2乗-4X+1(0≦X≦3)
(2)Y=-2X2乗+8X(1<X<4)

次の条件を満たす二次関数を、Y=aX2乗+bX+cの形で求めよ

(1)X=2で最大値8をとりX=1でY=5となる

(2)X=-1で最小値-3をとり、X=0でY=-1となる

次の2次方程式を解け
X2乗+2√2X+2=0

回答No.1

JOUNIN

2次関数の最大値や最小値は、元の式を平方完成するのが定石です

(1)y=x^2-4x+1=(x-2)^2-3
この関数は下に凸であるからx=2で最小値-3をとる(∵x=2は0≦x≦3に含まれる)
またxの定義域内で軸から最も離れているのはx=0であるから、
x=0で最大値1をとる

(2)y=-2x^2+8x=-2(x-2)^2+8
この関数は上に凸であるからx=2で最大値8をとる(∵x=2は1＜x＜4に含まれる)
一方、xの定義域が開区間であるから最小値は存在しない

(1)x=2で最大値8をとるような2次関数は一般的に
y=a(x-2)^2+8
と表せる。また(x,y)=(1,5)を通ることから
5=a(1-2)^2+8　∴a=-3
したがって求める関数は
y=-3(x-2)^2+8=-3x^2+12x-4

(2)x=-1で最小値-3をとるような2次関数は一般的に
y=a(x+1)^2-3
と表せる。また(x,y)=(0,1)を通ることから
1=a(0+1)^2-3　∴a=4
したがって求める関数は
y=4(x+1)^2-3=4x^2+8x+1

x^2+2√2x+2=0
⇔(x+√2)^2=0
∴x=-√2