複素関数の微分不可能性について！

質問

閲覧ありがとうございます。

複素関数f(z)=Re zについて、どこでも微分不可能なことを示せ。

という問題なのですが、教科書に答えが載っておらずわかりません。
コーシーの方程式はまだ習っていないので、別の方法で解きたいのですが…
どなたか、解答していただけるとありがたいです！
よろしくお願いします。

回答No.1

muturajcp · ベストアンサー

f(z)=Re(z)
z=x+yi,Re(x)=x,Re(y)=y
とすると
lim_{Re(h)=h→0}{f(z+h)-f(z)}/h
=lim_{Re(h)=h→0}{f(x+yi+h)-f(x+yi)}/h
=lim_{Re(h)=h→0}{(x+h)-x}/h
=lim_{Re(h)=h→0}h/h
=1

lim_{Re(h)=h→0}{f(z+hi)-f(z)}/(hi)
=lim_{Re(h)=h→0}{f(x+yi+hi)-f(x+yi)}/(hi)
=lim_{Re(h)=h→0}(x-x)/(hi)
=lim_{Re(h)=h→0}0/(hi)
=0
≠1=lim_{Re(h)=h→0}{f(z+h)-f(z)}/h
∴
f(z)=Re(z)はどこでも微分不可能

お礼

すばやい回答ありがとうございました！わかりやすかったです！