確率（野球）の問題です

質問

ストライクとボールの割合がそれぞれ５０％の割合のピッチャーがいる。あるバッターがこのピッチャーの球を打たないで、フォアボールになるのを待つことに決めた。この場合、フォアボールになる確率はいくらか。（デッドボール、ファウルボールの回数はないものとする）

フォアボールになる場合は

(1) ４回連続ボールの時で、ボールになる確率は1/2だから、
1/2×1/2×1/2×1/2＝で1/16になる。

(2) ストライクが１つで、ボールが３つの時で４回投げるので、
２×２×２×２＝１６

組み合わせが１．ス・ボ・ボ・ボ
　　　　　　　　　２．ボ・ス・ボ・ボ
　　　　　　　　　３．ボ・ボ・ス・ボ
　　　　　　　　　４・ボ・ボ・ボ・ス　　の４通りだから 4/16=1/4

その次にボールが出たら、フォアボールになるので、１回投げるので確率が1/2。
さっきの1/4と1/2を足して、合わせて3/4

(3) ストライクが２つで、ボールが３つの時で、５回投げるので、
２×２×２×２×２＝３２

組み合わせが　１．ス・ス・ボ・ボ・ボ
　　　　２．ボ・ボ・ス・ス・ボ
　　　　　　　　　　３．ボ・ボ・ボ・ス・ス
　　　　　　　　　４．ボ・ス・ス・ボ・ボ
　　　　　　　　　５．ス・ボ・ス・ボ・ボ
　　　　　　　　　６．ス・ボ・ボ・ス・ボ
　　　　　　　　　７．ス・ボ・ボ・ボ・ス
　　　　　　　　　８．ボ・ス・ボ・ス・ボ
　　　　　　　　　９・ボ・ス・ボ・ボ・ス
　　　　　　　　１０・ボ・ボ・ス・ボ・ス　の１０通り

5Ｃ3で。 　　 543
　　　　　　------- = 10通り
　　　　　　　　321

10/32 = 5/16になり、その次にボールが出たら、フォアボールになって、１回投げるので確率が1/2。
5/16 ＋ 1/2= 13/16

(1)1/16 (2)3/4 (3)13/16 それぞれの場合を足すと、
1/16　＋　3/4　＋　13/16 ＝ 1/16 ＋　12/16　＋ 13/16 = 26/16 = 13/8

確率の問題なのに答えが１超えてしまいました…　　どこが間違っているのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.12

B-juggler

なんか増えてる！と思ってみたら、ちょっときついことだよ・・・。

Ｎｏ．６です。

数学だと、パスカルの三角形や、二項分布などすごく大事。

これは今、公務員試験なので、質問者さんレベルに合わせたほうがいいかもね。

数的推理や、数理判断には、あんまり関係ないと思う範囲だから。

　＃数学なら別だけど。

一般の数学ではないので（これは失礼な書き方だね、すいません）、

この問題を解くための知識やひらめきがあればいい。

　＃悪い、変な書き方だ！　一般論は今は、いらない。

樹形図のコツだけ描いておきます。

全部書かないことです♪

σ(・・*)がやっていることは、手抜きで書いてないんじゃないんです。

あれはわざと。全部書くと、わかりにくくなるし、

数え落しが出てくるんですよ。

だからわざと、同じものは同じものと括ってしまう。

そうしているうちに、「同じものがどこででてくる！」というのが見えてくるから♪

一個注意だけど、「都合いくつ」ってσ(・・*)かいてますよね、

あれがないと数が分からなくなるから、入れておかないと、後で怪我します。

確率の足し算掛け算は、いらないこと考えずに、こう考えて。

同時に起こることは掛け算。

同時に起こらないことは足し算。

大体これでダイジョウブ。

背伸びしない。それが大事。

数学を学ぶのはいつでもできる。　でも今は試験が先　ね？

ベストアンサー、つけなくていいよ、σ(・・*)は。

数学をやっているわけではなくて、考え方だからね♪

　試験に通って、まだ閉じてなくて、これがあったから通ったんだ！とおもったら

　付けてくれてもいいけど、そうじゃないと思う。

　σ(・・*)はただ、手助けをするだけ。

　試験通るのはあなたの実力です。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

何度もご回答ありがとうございます。確率の”同時に起こることは掛け算。同時に起こらないことは足し算。”は、大変参考になりました。樹形図も書き出しながら、練習したいと思います。

数学は中学校から、さっぱり？？？？なので、問題を解く上で、常識的な知識かどうかの見極めが難しいです。それは、知ってて当然みたいな感じで参考書の問題も載ってるし…
でもあんまりゆっくり勉強する暇もないので、ほどほどに頑張ります。

ありがとうございました。

回答No.11

Ishiwara

＃８,９,１０です。本論からそれてすみません。
放送大学は、地デジ、衛星の両方で発信しています。無料ですし、ほぼ全国をカバーしているはずです。
http://www.ouj.ac.jp/
でお確かめください。

お礼

残念ながら、ＢＳやスカパー等契約してないので、映らないです。テレビそのものは地デジ対応のはずですが、放送大学の番組はあってないです。地域によって違うのでしょうか。

何度も回答ありがとうございました。

回答No.10

Ishiwara

＃８、９です。
本論からはずれますが、数学の遅れを取り戻す良いチャンスがあります。
放送大学（チャンネル121）毎週金曜日、正午から４５分間
「初歩からの数学」---とても良い番組です。どなたにもオススメです。

お礼

お礼が遅くなってすみません。
わざわざ二項分布やパスカルについて回答して下さり、ありがとうございます。

放送大学は、大きな会社のケーブルテレビ？とかに契約しないと見れないのですよね。
うちの田舎ケーブルテレビでは、映らないようです、残念ですが…
ＮＨＫの高校講座を見ていますが、範囲が狭くて、数Ａ、II、Ｂは無いみたいです。

ありがとうございました。

回答No.9

Ishiwara

＃８です。
> 掛けるところと足すところの違い？が分からないです。

互いに独立な事象Ａと事象Ｂが両方起こる確率を計算する場合、Ａの確率とＢの確率を掛けます。
互いに排他的な事象Ａと事象Ｂのどちらかが起こる確率を計算する場合、Ａの確率とＢの確率を足します。

> ２項分布が何なのか分からないし‥

ＡチームとＢチームが日本シリーズを戦うとして、毎回Ａの勝つ確率はp、Ｂはq、とします。（簡単のために必ず７回戦うとします）
このとき、(p+q)^7を８つの項に展開すると、その８つが、最終結果の確率分布となります。p+qという二項式の展開から得られるので２項分布といいます。
このように一定の確率で繰返し起こる事象の、最終結果の分布を見るためには、二項分布より良い方法はありません。しかし、場合数が少ないときは、腕づくで数え上げることも可能です。三振四球問題は、後者に近いかもしれません。

パスカルの三角形は、二項分布を視覚的に捕らえて一瞬でその要点を理解するための、とてもよい道具です。

数学というやつは、実は書籍で勉強するには向かないのです。特に初等数学はそうです（皮肉なことに、高等数学のほうが、独学しやすいのです）。だから、学校で覚えないと、なかなか取り返せないのです。ご自分に合った教材または先生が見つかればベストだと思いますが。

ちょっと観点を変えて、数学史や数学パズルといった分野をお読みになったらどうでしょうか。

回答No.8

Ishiwara

> さっきの1/4と1/2を足して、合わせて3/4

のところが間違っています。1/4と1/2の「両方が成立」しなければいけないので、足し算ではなく掛け算になります。
つまり、１ストライク４ボールになる確率は、1/8です。
２ストライク４ボールの項でも、同じ間違いをしています。

これは２項分布の問題なので「パスカルの三角形」を書くと、考え方がとてもラクになります。
私は直角座標（ボール数をｘ軸、ストライク数をｙ軸）のほうが好きですが、三角形の網と同じことです。

お礼

確率の問題で、いまいち、掛けるところと足すところの違い？が分からないです。

すいません、２項分布が何なのか分からないし、パスカルの三角形も何のことだか分かりません。（急いでウィキ見てきましたが、？？？でした…）

学校数学から離れて数年…、昔習ったのかもしれないけど覚えてない…　これは、常識的に知っていた方が良い知識なのでしょうか？？

回答No.7

nag0720

ついでに、別解を。

質問の確率は、６球投げてボールが４回以上である確率と同じなので、

(6C4+6C5+6C6)/2^6 = (15+6+1)/64 = 22/64 = 11/32

お礼

これだと早いですね。
でも自分じゃ導き出せなさそう…

ありがとうございました。

回答No.6

B-juggler

ゴメン　Ｎｏ．４(o｀・ω・)ゞデシ!!

Ｎｏ．５さんが当たり　(* ￣▽)o□☆□o(▽￣ *) カンパァーイッ♪

Ｎｏ．４　のなかで　（１）＋（２）’＋（３）’　これでやっぱりいいんだ。

何が間違っていたか、添付した絵がありますね～。

あそこに　（１／２）が何回あるという概念入れてない！。

うわ～　なんか、夢見そう～。こういう間違いやるとね＾＾；

　フォロー感謝です　ヾ（＠⌒ー⌒＠）ノ　ｍ（＿　＿）ｍ

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

お礼

図まで描いていただいて、ありがとうございました。
樹形図ね、実は描き方分かんないです。昔、やってたと思うんですけど。本当に数学関係何にも覚えてない。だからいつも適当に列にして書き出してますよ…　自分でも情けないです。

ポイントとは、ベストアンサーのことだったのですね。それで、ベストアンサーには、選ばない方が良いんですか？　今回（前回）だけorずっとですか？

ありがとうございました。

回答No.5

nag0720

15/35　という回答がでていますが、
正解は、あなたの最初の考え方で合ってます。
ただし、掛け算にすべきところを足し算にしていたため計算値が違っていましたが。
正しくは、
1/16　+　(1/4 × 1/2)　+　(5/16 × 1/2)　＝　11/32

15/35の考え方の間違いは、
３球で終わる場合、４球で終わる場合などのそれぞれが起こる確率が違いますから、それを単純に足してはいけません。

正しい計算方法は、
＃４さんの図を利用させてもらうと、
(3-0)　1通り、確率=1×1/8
(3-1)　3通り、確率=3×1/16
(3-2)　6通り、確率=6×1/32
(3-3)　10通り、確率=10×1/64
(4-2)　10通り、確率=10×1/64
(4-1)　4通り、確率=4×1/32
(4-0)　1通り、確率=1×1/16

フォアボールの確率は、
10×1/64 + 4×1/32 + 1×1/16 ＝ 11/32

念のため全確率を計算すると、
1×1/8 + 3×1/16 + 6×1/32 + 10×1/64 + 10×1/64 + 4×1/32 + 1×1/16 ＝ 1

お礼

あれ、掛け算でしたか…
イマイチ、掛け算にすべきが足すべきなのか分からないです。

解説ありがとうございます。

回答No.4

B-juggler

はいよ～。Ｎｏ．１さん（常連さんだよ～、本職さん）　いつもありがとう(o｀・ω・)ゞデシ!!

よくフォローしてくださいます　ｍ（＿　＿）ｍ

が指摘してあるけども、

（２）の最後、４球投げて組み合わせが４通り　なので　（カウント　１－３）

　（今は　ボールが先かな　３－１）

４／（２＾４）　＝　１／４　

５球目がボールじゃないといけないから、　足すんじゃなくて、掛け算ですよ＾＾；

（１／４）×（１／２）＝１／８　・・・（２）のときの４ボール　（２）’

（３）も同じようにしてあります

５球でフルカウント、5Ｃ2＝5Ｃ3＝１０　　１０／（２＾５）＝５／１６

６級目はおなじくボールだから、　（５／１６）×（１／２）＝５／３２　・・・（３）’

（１）＋（２）’＋（３）’

1/16　+　1/8　+　5/32　＝　2+4+5　／32　＝　11/32　？

これは違うと思う。

σ(・・*)の計算間違いかもしれないけど。

多分、先にストライク三つがあるから、他の方もおっしゃるとおり、

数えたほうがいいように思います。

もし問題を読み替えるのなら

「赤と青のボールが袋に入っています。色を見ずに袋から１つずつ取り出し

元に戻すとします。赤いボールを３つ取り出す前に、青いボールを４つ取り出す確率は

いくつですか？」

かなぁ。

ストライクの数を数えて　１－（三振する確率）　のほうが速い気がします。

あっ、そっか。３球で終わるときを除外してないんだ。

時間がもったいないから、無理やり計算するより、数えたほうが早い！　と思います。

余裕があったら後で樹形図をつけます。あんまり期待しないでね。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

　ＰＳ．ポイントをつけないで！っていうのは、ベストアンサーにしないで　ってことです。

(*￣(エ)￣*)　ｍ（＿　＿）ｍ　￣(。・ x ・。)￣

回答No.3

noname#156442

１打席は最少で３球、最多でも６球で終わるので、場合の数はそれほど多くないと推察できます。
さらに１打席は、３ストライクを取られるか、４ボールを選ぶか、どちらかに到達した時点で打ち切りになるため、面倒な制限がある問題です。
こういう場合は、あまりスマートに考えようとせず、すべての場合を洗い出して、分母・分子を算出した方が確実だと思います。

まず、最初の３球の組合せを考えます。
　＊ストライク→S、ボール→B

(1)３球ともストライク　→SSSの１通り
(2)２球ストライク　→SSB、SBS、BSSの３通り
(3)１球ストライク　→SBB、BSB、BBSの３通り
(4)０球ストライク　→BBBの１通り

次に、それぞれの場合で４球目以降の組合せを考えます。

(1)３球ストライク×１通り　→４球目以降なし
(2)２球ストライク×３通り　→S、BS、BBS、BBBの４通り、うちフォアボール１通り
(3)１球ストライク×３通り　→SS、SBS、SBB、BSS、BSB、BBの６通り、うちフォアボール３通り
(4)０球ストライク×１通り　→SSS、SSB、SB、Bの４通り、うちフォアボール３通り

まとめると、
(1)３球ストライク　→　１通り、うちフォアボール０
(2)２球ストライク　→１２通り、うちフォアボール３
(3)１球ストライク　→１８通り、うちフォアボール９
(4)０球ストライク　→　４通り、うちフォアボール３

合計、３５通り中フォアボールが１５、フォアボールの確率は１５／３５＝３／７

お礼

No.5が解説して下さっているのですが、答えが違うみたいです。

ありがとうございました。