確率の問題

質問

当方既に社会人ですが、最近確率の問題で気になったものがあったのでご教示願います。

・問い
A～Hの8チームでサッカーの試合をしました。景品は以下の通りです。
1位：ボール
2位：ボール
3位：ボール
4位：タイマー
5位：ボール
6位：ボール
7位：ボール
8位：タイマー
この時、A,B両チームがタイマーを獲得する確率を求めなさい。

・私の解答
ステップ1
Aチームが4位でタイマーを獲得する確率は1/8。
その後、Bチームが8位でタイマーを獲得する確率は1/7。

ステップ2(ステップ1でAとBが逆になる場合)
Bチームが4位でタイマーを獲得する確率は1/8。
その後、Aチームが8位でタイマーを獲得する確率は1/7。

よって求める確率は
(1/8 × 1/7) × 2 ＝ 1/28
となる。

ぱっと思いついたのがこの解答だったのですが、これは正解でしょうか？
いろんな方のご解答をお待ちしております。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

またお邪魔します。

補足を全部読みましたが、どのチームにとっても平等なシステムですので、
どの試合も、勝つ確率（ＰＫ戦勝利の確率を含む）が両チーム同じ（１／２）であるとすれば、
やはり　１／２８　の確率です。

タイマー欲しさに、３位４位決定戦でわざと負ける、７位８位決定戦でわざと負けるということをしていなければ。　＾＾

以上、ご参考に。

お礼

なるほど～そうきましたか！！！
考えてみると誠に正論ですね！！！
すっきりしました。
ありがとうございます。

回答No.2

sanori

こんばんは。

ばっちり合っています。
しかし、これは、
８つ中、当たりが２つあるくじで、
１回目に当たりを引き、つづけて２回目も当たりを引いた時だけ、ＡさんとＢさんに１個ずつ配れることと同じですので、
・１回目に当たりを引く確率　＝　２／８
・つづけて２回目も当たりを引く確率　＝　１／７
２／８　×　１／７
で１発で求まります。

ただし、当然ながら前提条件が必要で、
・どの試合でも勝つ確率が、お互い１／２ずつ。
　（どのチームの実力も全く同じで、また、あるチームにとって特定のチームが苦手ということがない。）
・どのチームも、どの順位になるかの確率が１／８ずつになるように試合設定する。
・２チーム以上が同じ順位で並んでしまったときのプレーオフも、確率が平等になるようにルール設定する。
などが前提となります。

たとえば、
極端な話、パラマス式トーナメントだと、いちばん上にシードされたチームが１位になる確率は１／８ではなく１／２になり、いちばん下からのチームは７連勝が必要なので、１／２^7　になります。

いちばん簡単なのは、
左右対称なトーナメント表をつくって、
・１回戦で敗退した４チームは４本のくじを引いて５～８位を決定、
・２回戦（準決勝）で敗退した２チームは、プレーオフ（３位決定戦）を行うか、くじを引いて３～４位を決定。あるいは、優勝チームに負けたほうを３位とする。
・決勝敗退は２位。
などですかね。

以上、ご参考になりましたら。

補足

試合の方法ですよね。それはですね。

A～Hを4チーム、4チーム2つのグループ(X,Yとする)に分けるんですよ。
ただし、AとBは同じグループに属すことはありません。

それで、例えば
X：A,C,D,E
Y：B,F,G,H
というグループ分けになったとします。

各グループは総当りで1～4位を決定します。
例えばXの方は
第1試合：A VS C
第2試合：A VS D
第3試合：A VS E
第4試合：C VS D
第5試合：C VS E
第6試合：D VS E
のような試合構成になります。
また、
勝利：勝ち点3
引き分け：勝ち点1
負け：勝ち点0
として勝ち点制度を設け
勝ち点が同じの場合は得失点差で順位を決定します。

その後は次のようにして順位を決定します。
・1位～4位
(1)：X-1位 VS Y-2位
(2)：Y-1位 VS X-2位
(3)：(1),(2)の敗戦チーム同士で3位決定戦
(4)：(1),(2)の勝利チーム同士で優勝決定戦
ただし、引き分けた場合は1本勝負のサドンデスPK戦
((1)の試合でA VS Fになった場合を仮定すると、
Aの一人目がPKを決め、Fの一人目がPKを外したら
その時点でAチームの勝利。ただし、本当はサッカーではなく
5人 VS 5人のフットサルです。)

・5位～8位
(1)：X-3位 VS Y-4位
(2)：Y-3位 VS X-4位
(3)：(1),(2)の敗戦チーム同士で8位決定戦
(4)：(1),(2)の勝利チーム同士で5位決定戦
ただし、引き分けた場合は1本勝負のサドンデスPK戦

以上です。
ちなみに、これは先日実際にあった話です。
6チームに声をかけて
上記の方法で試合をすることになったのです。
ただし私たちのチームは人数が多かったのでA,Bの2チームに分けました。
そして、Bチームが4位、Aチームが8位になってタイマー2個をゲットしたんです。
皆でこれってすごい確率だよなぁって話になったんですよ。
それで、実際に計算したらどうなるのかなぁってふと思ったわけです。
Aが4位、Bが8位でもタイマーがもらえるから1/28かなぁ？って皆で話してたわけです。

でも、よく考えてみるともっと少ない確率のようですね。
というか、複雑すぎて計算不可に近いので、正確な解答は求めないことにします。
お暇があって数学がお好きな方のみお考え頂ければ結構です。
恐らくご解答を読んで理解するのも相当苦労すると思いますので。。。

回答No.1

owata-www

一番重要なのは、このサッカーの試合がどのようにして順位を決めたかです。それによって全く違います。