三角関数の問題について

質問

y=sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x　（0≦x＜π/2）の最大値と最小値を求めよ。

2直線4y+3x-2=0 -3y+x+5=0のなす角をθとするとき、cosθの値を求めよ。

この二つの問題の解き方がいまいち分かりません。
できるだけ詳しく解説お願いします。

回答No.2

eco1900 · ベストアンサー

お手元に解答はないのですね。
でも「第二問目」は自力で解答までたどり着いたんですね^^v。

一応、その「解答」を差し支えなければ伺ってみても宜しいでしょうか。

>最初の問題は、合成する所で角度αの出し方が分かりません。
>合成に際にグラフを書くと辺の長さはそれぞれ、
>3/2 , √5/2 , 1　となりました。
>1 : 2 : √3 になっているわけでもなく、いまいち分かりません。
>もしかしたらどこかで計算を間違っているだけかもしれませんが。

また、上記【補足】にありました件に関してですが、

三角関数の合成で現れるαは、求められる場合にはαを具体化しておくべきですが、今回のように具体的に求められなければそのままでいいんですよ。

ただし、「sinα＝2/3、cosα＝√5/3、０＜α＜π/2」という断り書きは付けておく必要があります。
＊今回の質問者さんの「補足」を見る限り、きちんとその合成させる部分までは、努力したことが伺えますよ^^。

・・ということで、合成させた続きあたりからもう少し記しておきます。

・【(√5/2)sin2x＋cos2x】から
→「三角関数の合成：Asinθ＋Bcosθ＝√(A^2＋B^2)sin・・・（あえて省略）」と使って式変形してみてください。

y＝sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x　（0≦x＜π/2）
＝(3/2)(sin(２x＋α))＋２

ここで、sinの角度（２ｘ＋α）について、その範囲を調べます。
条件の「０＜x＜π/2」から→０＜２x＜π　と　合成で現れた「０＜α＜π/2」から
　　　０＜２ｘ＋α＜3π/2
（つまり、・・・xy座標平面上で言えば「第一象限から第三象限」ですね）

この範囲においては、－１＜sin（２ｘ＋α）≦１
だから、
sin(２x＋α)＝１の時に最大値7/2　最小値はなし

回答No.1

eco1900

●「y=sin^2x+√5sinxcosx+3cos^2x　（0≦x＜π/2）の最大値と最小値を求めよ。」

　右辺について・・一見したところ何から取り掛かっていいのか困惑しているかと思います。
　　（詳しい解説を希望とありましたが、そばに実際の解答などがあるのでしたら、あえてヒント的なお話しとしておきますので、嫌気がさしていなければ再挑戦してみてください・・・ごめんね^^A）

・【sin^2x＋cos^2x＝１】から
　　→「cos^2x＝１－sin^2x」を使って式変形してみてください。

・【sin2x＝２sinxcosx】から
　　→「sinxcosx＝(1/2)sin2x」を使って式変形してみてください。

・【(√5/2)sin2x＋cos2x】から
　　→「三角関数の合成：Asinθ＋Bcosθ＝√(A^2＋B^2)sin・・・（あえて省略）」と使って式変形してみてください。

●「2直線4y+3x-2=0 -3y+x+5=0のなす角をθとするとき、cosθの値を求めよ。」
　4y＋3x－2＝0　から、y＝(－3/4)x＋1/2　(1)
　－3y＋x＋5＝0　から、y＝(1/3)x＋5/3　(2)

　(1)と(2)のそれぞれがx軸の正方向となす角をα、βとします。
　　（→二直線を原点まで平行移動してきても、なす角α、βに変化はありませんから、結局のところ二直線の「傾き」だけが必要となりますね。）

　上のカッコ内のことを踏まえて、求める(1)、(2)のなす角θとすれば・・・
　　　θ＝α＋β

　また、グラフから「tanα＝－3/4、tanβ＝1/3」ということになります。
　　（実際にグラフにしてみてみるともっと分かりやすいと思います）

　・・・あとは、θのtanを考えて・・・　tanθ＝tan(α＋β)＝・・・省略・・・

　　　（・・・この辺からそろそろ再挑戦してみてください、きっと解答できると思いますよ。^^v）

補足

すみません説明不足でした。手元に解答はありません。

最初の問題は、合成する所で角度αの出し方が分かりません。
合成に際にグラフを書くと辺の長さはそれぞれ、
3/2 , √5/2 , 1　となりました。
1 : 2 : √3 になっているわけでもなく、いまいち分かりません。
もしかしたらどこかで計算を間違っているだけかもしれませんが。

2つ目の問題はたった今自力で解けました。