整数値問題の過去問

質問

夏休みに入り、又、近所の高校生からの質問です。先ず、問題を書きます。

c＞b＞a、1/a＋1/b＋1/c＜1　を満たす自然数：a、b、cについて、1/a＋1/b＋1/c　の最大値と　そのときのa、b、cの各々の値を求めよ。

解くだけなら、カーティスの定理から　3数は(2、3、7)と直ぐわかるんだが、その方法は反則。
似たような問題：1/a＋1/b＋1/c＝1　からやる方法も考えられるが、やはりそれも反則だろう。

と、言う事で私が示した略解は下記の通り。

a≠1は明らかだから、
a＝2のとき、b≧3
(1)　b＝3　のとき、
1/a＋1/b＋1/c＝5/6＋1/c　c≧4だから、c＝4、5、6　のとき　1/a＋1/b＋1/c＞1より不適。よつて、c≧7のとき、5/6＋1/c≦41/42
(2)　b≧4のとき、
1/a＋1/b＋1/c≦3/4＋1/c　c≧5より、3/4＋1/c≦19/20

a≧3　のとき、b≧4、c≧5　より、1/a＋1/b＋1/c≦47/60

以上から、最大値は　41/42　で、そのとき(a、b、c)＝(2、3、7)

以上が、略解なんだが、しかし、いかにも結果を知って解いてる解法のようで、自分でもしっくり来ない。
そこで、質問ですが、たどたどしくても良いので、なんかいい方法がないでしょうか？
検討をお願いします。　m(__)m

回答No.2

hrsmmhr · ベストアンサー

a>=3なら
19/20=1/2+1/4+1/5>1/3+1/4+1/5なのでa=2としてよい
1/2-1/k=(k-2)/(2k)で1/a+1/b+1/c<3/2だから
(b-2)/(2b)+(c-2)/(2c)>1/2なる最小のb,cを考える
(b-2)(c-2)>4より
b=3,c=7またはb=4,c=5
それ以上はb<cよりb=4,c=5より小さくならない
a=2,b=3,c=7のとき41/42>19/20なので
a=2,b=3,c=7のときの41/42が最小

補足

回答ありがとうございます。

私の解答と“見かけ”は違うが、やってる事は(私の　別解と)実質的に　ほとんど同じと思います。

＞a>=3なら　19/20=1/2+1/4+1/5>1/3+1/4+1/5なのでa=2としてよい

これはおそらく、実験の結果と思いますが、“分からなければ、実験してみろ”というのが、一つの鉄則ではありますが、やはりそれしかないようですね。

回答No.1

alice_44

高校生が試験に書く答案としては、他はないのでは？
質問文中のが、想定正解でしょう、きっと。

お礼

回答を、ありがとうございます。

＞高校生が試験に書く答案としては、他はないのでは？

実は、私が考えた方法はもう一つあります。
c≧4、b≧3、a≧2　から　1/a≦1/2、1/b≦1/3、1/c≦4　より、1/a＋1/b＋1/c＜1　だから　1/4≦1-1/b-1/a ‥‥(1)、or、1/4＞1-1/b-1/a　‥‥(2)。
(1)の場合、3/4-1/a≧1/3、or、3/4-1/a＜1/3。(2)の場合、3/4-1/a≦1/3、or、3/4-1/a＞1/3。
として、場合わけは多いが、正答には到達できる。

しかし、これは余りにも拙劣。それで質問した次第。