• 締切済み

整数問題。解ける方募集します。

a,b,cは正の整数とする。 a^2+b^2=c^2 をみたし、かつaとbの差が1であるような組(a,b,c)は無数に存在することを示せ。 ※背理法による解法があれば教えてください。

みんなの回答

  • yoikagari
  • ベストアンサー率50% (87/171)
回答No.3

この手の問題では、背理法に持ち込むは余り賢くない。 無理やり背理法に持ち込めないこともないが、かなり「醜い回答」だと思うけどな。 背理法が有用なのは、直接証明が難しそうな場合に限られると思うけどなあ。

  • yoikagari
  • ベストアンサー率50% (87/171)
回答No.2

ramayanaさんの回答と本質的には一緒だけどこうやる。 x(n)={(1+√2)^n +(1-√2)^n}/2、y(n)={(1+√2)^n -(1-√2)^n}/(2√2) とおく C(n,i)を二項係数とすると x(n)=Σ_[iは0以上の整数]C(n,2i)2^i、y(n)=Σ_[iは0以上の整数]C(n,2i+1)2^i とかけるからx(n)、y(n)は正の整数である。 とくに、nが奇数のとき n=2m+1とおくと、{x(2m+1)}^2 -2{y(2m+1)}^2={4(-1)^(2m+1)}/4=-1 {x(2m+1)}^2 =2{y(2m+1)}^2 -1 明らかに右辺は奇数だから、左辺の{x(2m+1)}^2は奇数である。 したがって、x(2m+1)は奇数である。 このとき明らかに{x(2m+1)}^2 +1={y(2m+1)}^2 a={x(2m+1)+1}/2、b={x(2m+1)-1}/2、c=y(2m+1)とおくと…♪ a^2 +b^2=({x(2m+1)}^2 +1)/2={y(2m+1)}^2=c^2となる。 0以上の整数mは無数にとれるから、当然♪の整数a,b,cは無数に取れる。

  • ramayana
  • ベストアンサー率75% (215/285)
回答No.1

  [1] a^2+b^2 = c^2 において   b = a+1   x = 2a+1   y = c と置けば、   [2]  x^2-2y^2 = -1 となります。 [1]の解と[2]の解は1対1に対応するので、[2] の解が無数に存在することを示せば十分です。 以下、2の平方根をwで表します。nを奇数として、   [3] (1+w)^n = x+wy となるようにxとyを定めます。すると、   (1-w)^n = x-wy なので、   x^2-2y^2 = (x+wy)(x-wy )= (1+w)^n×(1-w)^n =(1-2)^n = -1 となります。したがって、[3]式で得られるx,yが、すべて[2]の解になります。異なるnに対応するx,yが異なるので、このようなx,yは無数に存在します。 ちなみに、n=1とすれば、x=1、y=1なので、a=0、b=1、c=1となります。n=3とすれば、x=7、y=5なので、a=3、b=4、c=5となります。 なお、[2]のような方程式は、Pell方程式と呼ばれ、古くから解き方が知られているものです。

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