放物運動の運動方程式

質問

θ＝４５°のときの、放物運動の運動方程式を教えてください。
できれば、細かな途中計算も無理のない範囲で書いてもらえると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.3

Teleskope

Vy　　　　Ｖ
　｜　　 ／　
　｜　／　　　
　 |／
　 ￣￣￣￣　Vx

　45度の場合は
横のスピード　Vx = Ｖ÷√2　　…(1)
縦のスピード　Vy = Ｖ÷√2　　…(2)

横のスピードは邪魔するものが無いので変わらない。
縦のスピードは重力に引かれて遅くなる。
失うスピードは１秒間に9.8メートル/秒。
スピードがゼロになる時間Ｔは

Ｔ = Vy÷9.8　　　…(3)

（これはタクシー料金と思えばよろしい。
　所持金 Vy 円を持って乗り、1秒あたり9.8円という
　料金なのである。所持金が尽きる時間が上式。）

ふたたび地上に落ちるまでの時間は
下図から想像できるように
Ｔの２倍である。

　　　　　　　　*　　
　　　　　 *　　　　　*
　　　 *　　　　　　　　　*
　　*　　　　　　　　　　　　*
　*　　　　　　　　　　　　　　 *
￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣￣　距離　

横のスピードは一定。
進む距離 = スピード×時間
だから
地上に落ちるまでに進む距離は

Ｓ = Vx × 2T

これに(1)と(2)と(3)を入れると

Ｓ = Ｖ÷√2 × 2 ×Vy÷9.8

　 = Ｖ÷√2 × 2 ×Ｖ÷√2÷9.8

　 = Ｖ×Ｖ÷9.8

　 = V^2/9.8

回答No.2

KENZOU

ニュートンの運動方程式は力をＦ、質点の質量をｍ、加速度をａとすると（Ｆ、ａはベクトルですね）
Ｆ＝ｍａ　　(1)
と書かれます。なお加速度は速度Ｖ(←これもベクトル）の時間微分ですから
ａ＝dV/dt　(2)
となります（微分をご存知でしたらいいのですが、知らなければ割算のように考えてください。微分を使わないやり方は忘れました、、、）。ニュートンの運動方程式は従って微分方程式なんですね。さて、今、地平線上のある一点から仰角θ、初速度V0で投げ出された質点の運動方程式を考えます。運動方程式は例によってｘ成分とｙ成分に分けて立てます。まずｘ成分の運動方程式は、ｘ方向には力が作用していませんので(2)を使って
Fx＝ｍｄVx/dt＝０　(3)
となります。同様にｙ成分はY軸の負の方向に重力ｍｇが作用しますので
Fy＝ｍdVy/dt＝－ｍｇ　(4)
となりますね。(3)(4)の微分方程式を解くと初期値をV0xとして
Vx＝V0x　　(5)
Vy＝－ｇｔ＋V0y　　(6)
となります。ところで速度は位置の時間微分ですから(5)と(6)は次のように書かれます。
dx/dt＝V0x　(7)
dy/dt＝－ｇｔ＋V0y　(8)
(7)と(8)を解くと
ｘ＝V0xt＋ｘ0　　　(9)
ｙ＝-(1/2)ｇｔ＾2＋V0yｔ＋y0　(10)
ここでｘ0、ｙ0は初期値と呼ばれるもので、質点がｔ＝０の時刻にいた場所です。今これを原点(0,0)に取ればx0=0、y0=0となって(9)、(10)は次のようにスッキリします。
ｘ＝V0x　(11)
ｙ＝－(1/2)ｇｔ^2＋V0y　(12)
求める答えはもう少しです。速度はベクトルでしたね。そこで初速度V0のｘ成分は仰角がθですから
V0x＝V0cosθ　　(13)
同様に
V0y＝V0sinθ　　(14)
となります。今θ＝45°ですからこれを代入すればekiseiさんが書かれた式が得られます。少しごたごた書きすぎましたが、ゆっくり考えてください。

回答No.1

ekisei

X=V0cosθ・t
y=V0sinθ・t-1/2ｇｔ^2

で　cos45=ルート２分の１、（sin45も同じ）を代入
すればよい。

　式の入力がうまくいきませんでした。
　V0は　Vゼロ、ｇは重力加速度　^2 は　二乗　です。