放物運動の運動方程式を解く
- 放物運動の運動方程式を解く方法について解説します。
- 初期条件を与えた放物運動の方程式を解く方法について説明します。
- 放物運動の軌道やx軸の到達距離についても解説します。
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放物運動の運動方程式を解く
問題は、 (1)放物運動の運動方程式を書け。（z軸とx軸の平面での運動) (2)その方程式を解け。ただし初期条件は、t=0のときr(0)(ベクトル)=0=R0,v(0)(ベクトル)=V0=V0cosαex(単位ベクトル)+V0sinαez(単位ベクトル） (3)軌道を求めなさい。 (4)αが何度の時x軸の到達距離が最大になるか。 です。 (1)はmx"=0,mz"=-mgと解けたのですが、(2)の答えがx=V0cosαt,z=-(1/2)gt^2+V0sinαtとなるのが解けません。どうやって解くのでしょうか。 また(3)の答えが-1/2・(g/V0^2)・（1/cos^2α）・ｘ^2+tanαｘとここまでは分かるのですが、次の =-(1/2)・(1/V0^2)・(1/cos^2α)(x-(V0^2sin2α/2g))^2+(1/2)(V0^2/g)・sin^2α という変形が分かりません。どうして分子のgが分母にいってしまったのか分かりません。もしかしたらノートの写し間違いかもしれないのですが、どなたか分かる方教えて下さい。あとできたら(4)も教えていただけるとありがたいです。
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<<4:でT=2V0sinα/gはどこから出てきたのですか これは、鉛直投げ上げにおいて、質点が、投げ上げてから最高点に達するまでの時間が、初速度をVoとして t=V0/gという"公式"を使わせていただきました。 ご質問の場合、斜めに投げ上げていますけど、鉛直方向と水平方向に分解して、鉛直方向の速度のみ考えれば上のVoをV0sinαと置き換えるだけです。2倍しているのは、最高点に達し、さらに戻ってくるからです。 行きと帰りで時間は全く同じです。最高点に達する時間t=Vo/gは、公式として覚えておくと強力ですよ... ちなみに、最高点の高さの公式はh=Vo^2/2gです。 これも使えます. <<αについて微分するのはなぜですか まず、物理において微分をしたものを=0とおくのは、 その微分されたものの最大値か最小値を求めるときに 限ります。今の場合、到達距離の最大値を求めたいわけです。ですから、到達距離Xをまず求め、その到達距離Xを微分して=0とおいています。そして、ここは肝要なのですが、何を変化させたときの最大値を求めたいのか、ということです。 今の場合、「αが何度のとき到達距離が最大か」 となってるので、αについて微分することになります。 応用として、先の公式：t=Vo/gを微分により求めます。これは、[質点が最高点にあるときの時刻を求めよ]と言い換えられます。ですから、これはzをtで微分 したものを=0とおけば、最高点に達するときの時刻が 求まります。z=-1/2gt^2＋Votをtで微分し=0とおくのです。 ＜速度を出したということですか 速度は、距離を"時間について"微分したものです。 今の場合、時間についての最大ではなく角度についての最大を求めたいので、速度は関係ありません。
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2:mx"=0⇒x"=0の両辺を積分すると x'=C(定数) より、t=0のx'と等しいから C=V0cosα x'=V0cosαの両辺を積分 x(t)=V0cosαt＋C(積分定数) また、x(0)=C=0よりC=0 よってx=V0cosαt mz"=-mg⇒z"=-g⇒z'=-gt＋C z'(0)=C=V0sinαより z'=-gt＋V0sinα さらに両辺積分し z=-1/2gt^2＋V0sinαt＋C z(0)=C=0よりz=-1/2gt^2＋V0sinαt 3:x=V0cosαtよりt=x/V0cosα, これをz=-1/2gt^2＋V0sinαtに代入。 あとは平方完成するだけです。 z=-1/2g(x/V0cosα)^2＋tanαx =(-1/2)g/(V0cosα)^2{x^2-(1/g)V0^2sin2αx} =(-1/2)g/(V0cosα)^2{x-(V0^2/2g)sin2α}^2 ＋(1/2)g/(V0cosα)^2・(V0^2/2g)^2sin^22α =(-1/2)g/(V0cosα)^2{x-(V0^2/2g)sin2α}^2 +(1/2)(V0^2/g)・sin^2α です。つまり、ご質問の式ではカッコの前の係数にgが抜けているようです。 4:質点が到達する水平距離は X=V0cosαT=V0cosα(2V0sinα)/g=V0^2sin2α/g ですから、これをαについて微分します X'(α)=(V0^2/g)2cos2αこれを=0とおくと cos2α=0⇒2α=π/2⇒α=π/4
補足
4:でT=2V0sinα/gはどこから出てきたのですか？あとαについて微分するのはなぜですか？速度を出したということですか？それがゼロになるとは速度がゼロになる点ということですか？何度も質問し申し訳ありません。
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