微分方程式 x^2・y"-2・x・y'+y・y'=0

質問

は解けるでしょうか？

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

keyguyさん、こんにちは。私は非線形微分方程式は勉強したことがないのですが、無謀ですが試みることにします。
　　yy' = -x^2 y'' +2xy'
と変形してyは原点で有界でk次式と仮定すると、yy'は2k-1次、右辺はk次(またはそれ以下)になります。
　2k-1 = k
とするとk=1ですからy=ax+bという形を仮定して元の微分方程式に代入するとy=2xが解であることが分かります。したがって境界条件がx=0でy=0, y'=2の時はy=2xが解で、それ以外の時は解なし？かと思います。
　次に、原点で発散する解を考えてみましょう。
　　y = Σak x^(-k)
として微分方程式に代入すると、
　(k^2+3k)ak + Σ(p-k+1)ap ak-p-1 = 0
　(pについて1からk-2まで和をとる)
という漸化式が得られ、全てのakが0になるので原点で発散する解もないかと思います。

お礼

ありがとうございます。

ｙ＝２・ｘは１つの解みたいですね。
ｘ＾２・ｙ”＋２・ｘ・ｙ’＋ｙ’・ｙ＝０
ならばきれいに求まるのにちょっとに違いで大事になりますね。
ｙ＝ｘ＾２／（ｘ＾２＋１）
は解でもないのですがこの式のように
Σ（－∞＜ｎ＜∞）・ａ［ｎ］・ｘ＾ｎ
ｎが正のときと負のときにもａ［ｎ］が０でない場合にはちょっと大変になりますね。

少なくとも解が存在するということはわかりました。
ありがとうございました。