x^4+3y^3=10 の微分

質問

x^4+3y^3=10 を分解して

y^3=(10-x^4)/3
ln(y^3)=ln[(10-x^4)/3]
3ln(y)= ln[(10-x^4)/3]
3(y)'/y=ln[(10-x^4)/3]' 右辺の微分ができません。

もしくは他に簡単なやり方があるのでしょか？
さまざまなとき方をお教えいただけたら幸いに思います。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

x^4+3y^3=10のグラフは添付図の黒実線のようになります。
グラフはy軸対称です。
x,yは正・負の値をとるので
そのまま対数微分法は使えません。

真数が正のときのみ適用できる。つまり
>ln(y^3)=ln[(10-x^4)/3]
>3ln(y)= ln[(10-x^4)/3]
この計算ができるのは
y>0, -10^(1/4)<x<10^(1/4) の場合だけです。

y<0,|x|≧10^(1/4)の場合のy'は別途計算しないといけません。

>3(y)'/y=ln[(10-x^4)/3]' 右辺の微分ができません。
合成関数の微分公式を使えばできます。但し、y>0, -10^(1/4)<x<10^(1/4) の場合だけしか適用できません。
3y'/y=[(10-x^4)/3]'/[(10-x^4)/3]=4x^3/((x^4)-10)
y'=(4/3)x^3/[((x^4)-10)y]
これに x^4+3y^3=10 からyを求めて代入すれば良いでしょう。

しかし、これだけでは　y<0,|x|≧10^(1/4)の場合のy'が計算できていません。
この場合も含めて計算するためには

　x^4+3y^3=10 ...(1)
この式を直接微分して
　4x^3+9(y^2)y'=0 ...(2)
y=0の時は(1)からx=±10^(1/4)なので　y'は存在しません。
グラフでは(0,±10^(1/4))で傾きが±∞になってy'が存在しないことが分かります。

y≠0では(2)から
　y'=-(4/9)(x^3)/y^2　...(3)
これでもいいですが、xだけで表したければ(1)より
　y^3=(10-x^4)/3
この左辺と右辺は正、負の値を解くことに注意しておきましょう。
　y^2=(|10-x^4|/3)^(2/3)
(3)に代入してyを消去すると
　y'=-(4/9)(x^3)/(|10-x^4|/3)^(2/3)
　　=-(4/3^(4/3))(x^3)/(|10-x^4|)^(2/3)
　∴y'=-(4/3^(4/3))(x^3)/(|(x^4)-10|)^(2/3)　...(4)
このy'の図示すると青実線の曲線となり、x≠±10^(1/4)以外のxで定義できます。

(1)のy傾きの変化を(4)の青実線のグラフと比較してみれば　(4)のy'の式が正しいことが
確認できると思います。

回答No.2

yyssaa

右辺の微分ができません。
＞普通に(10-x^4)/3を真数として微分すれば
ln[(10-x^4)/3]'=[1/{(10-x^4)/3}]*(-4/3)x^3になります。
あとは
3(y)'/y==[1/{(10-x^4)/3}]*(-4/3)x^3
にy={(10-x^4)/3}^(1/3)を代入して
y'=(1/3)*{(10-x^4)/3}^(1/3)[1/{(10-x^4)/3}]*(-4/3)x^3
=[-4/{3^(4/3)}]x^3*{10-x^4)}^(-2/3) ただし(x^4≠10)

回答No.1

ereserve67

ｌｎをとると，その中身は正でなくてはなりません．両辺をそのまま微分すると，

4x^3+9y^2y'=0∴y'=-4x^3/(9y^2)(y≠0)

ここでy^3=(10-x^4)/3よりy=(10-x^4)^{1/3}/3^{1/3},9y^2=3・3^{1/3}(10-x^4)^{2/3}

y'=-4x^3/{3・3^{1/3}(10-x^4)^{2/3}}(x≠±10^{1/4})