y=x^(1/x) の 微分

質問

y=x^(1/x) の微分を教えてください。
簡単な問題なのにすいません。

回答No.2

R_Earl · ベストアンサー

対数微分法で微分できます。まずは両辺の対数をとって

y = x^(1/x)
→log|y| = log|x^(1/x)|
→log|y| = (1/x)log|x|

このlog|y| = (1/x)log|x|の両辺をxで微分します。

まず左辺をxで微分することを考えます。
f(x) = log|x|とおき、g(x) = yとおくと、
log|y| = f(g(x))
ですので、

(log|y|)'
={ f(g(x)) }'
= f'(g(x)) × g'(x)

です。f'(x) = 1/xですのでf'(g(x)) = 1/y、
g'(x) = (y)' = y'より、
(log|y|)'
= f'(g(x)) × g'(x)
= y' / y

です。
y = x^(1/x)を代入すると

(log|y|)'
= y' / y
= y' / { x^(1/x) }

となります。

(log|y|)' = { (1/x)log|x| }'
→y' / { x^(1/x) } = { (1/x)log|x| }'

この両辺に{ x^(1/x) }をかけると

y' =　{ x^(1/x) } × { (1/x)log|x| }'

となります。
なので{ (1/x)log|x| }'の計算をすればy'が求まります。
積の微分で解いてください。

補足

ありがとうございます。
あと、この関数の∞極限と0極限はどのように求めたらよいのでしょうか？
結果は予想がつきますが、求め方がわかりません。

回答No.3

R_Earl

> あと、この関数の∞極限と0極限はどのように求めたらよいのでしょうか？
> 結果は予想がつきますが、求め方がわかりません。

y = x^(1/x)の極限値ですか？
0極限は簡単に求まります。
x→0ですので、x^(1/x)→0^∞となり、0に収束します。
等比数列r^nが|r|<1ならn→∞で0に収束するのと同じです。

次に∞極限ですが、これは最初に利用した対数を使えば求まります。
今回0 < xですので、対数に使ってた絶対値は必要ないので書きません。

logy = (1/x)logx

ここでx→+∞の時の(1/x)logxの極限値を考えます。
(1/x)logxを変形し、logx/xとします。x→+∞で

logx/x → +∞/+∞

となります。ロピタルの定理が使えるので使ってみます。
そうするとlogx/xの極限値は0となります。
（ただし、ロピタルの定理は高校では使用禁止ですので、もしyu_tefさんが高校生なら
別の方法でlogx/xの極限値が0になることを証明する必要があります。）

logy = (1/x)logxですので、x→+∞で(1/x)logx→0ならlogy→0です。
なのでlogy = 0となるようなyが、求めたい極限値ということになります。

回答No.1

chiezo2005

両辺のLOGをとってから微分するとよいのでは？
答えは

x^(1/x)*{(1/x^2)-(log(x)/x^2)}
です。

補足

ありがとうございます。
あと、この関数の∞極限と0極限はどのように求めたらよいのでしょうか？
結果は予想がつきますが、求め方がわかりません。