微分方程式((x+y)^2)y'=4 の解き方を教えてください。

質問

微分方程式((x+y)^2)y'=4　の解き方を教えてください。
変数分離形にもできなかったし、y=ux と置いてもうまくいきませんでした。
どうすれば解けますか？　どなたか教えてください。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

x+y=zとおけば、1+y'=z'なので、

z^2・(z'-1)=4　即ち、
z^2・(dz/dx)=(z^2+4)

2^2/(z^2+4)・dz=dx　と変数分離形になります。

お礼

早速の回答ありがとうございました。
お教えの方法で解いてみました。

((x+y)^2)y'=4
x+y=z とおくと 1+y'=z'
z^2(z'-1)=4 即ち z^2(dz/dx)=z^2+4
(z^2/(z^2+4))・dz=dx
(1-4/z^2+4)・dz=dx
z-2arctan(z/2)=x+C
x+y-2arctan((x+y)/2)=x+C
y-2arctan((x+y)/2)=C

となりました。ありがとうございました。

回答No.3

inara

回答No.1のお礼にある解
　　　y - 2*arctan{ ( x + y )/2 } = C
は回答No.2 の解と同じです。

回答No.2 の最後から３行目の
　　y/2 - C = arctan{ ( x + y )/2 }
を変形すると
　　y - 2*arctan{ ( x + y )/2 } = 2*C
ですから、この 2*C を改めて C と書けば、回答No.1のお礼にある解と同じです。

回答No.2

inara

他にうまい方法があるかもしれませんが・・
x + y = 2*tan(s) とおき( s は x の関数）、この両辺を x で微分して整理すると
　　　y' = 2*{ 1 + tan(s)^2 }*s' - 1 --- (1)
元の微分方程式から
　　　y' = 4/(x+y)^2 = 1/tan(s)^2 --- (2)
(1), (2) より
　　　s' = 1 / { 2*tan(s)^2 } --- (3)

tan(s) = t + s とおき（t は x の関数）。この両辺を x で微分して整理すると
　　　s' = t' / tan(s)^2
これと(3)より
　　　t' = 1/2 → t = x/2 + C ( C は積分定数 ）
tan(s) = t + s とおいたので、上の結果から
　　　tan(s) = x/2 + C + s --- (4)
最初の x + y = 2*tan(s) から
　　　s = arctan{ ( x + y )/2 } --- (5)
(4), (5) から
　　( x + y )/2 = x/2 + C + arctan{ ( x + y )/2 }
　　→ y/2 - C = arctan{ ( x + y )/2 }
　　→ tan( y/2 - C ) = ( x + y )/2
　　→ x = 2* tan( y/2 - C ) - y

お礼

ありがとうございました。
先のかたに教えていただいた方法で解いた答えと違うので、どこがいけなかったか
考えてみます。

補足

arctanをtan に直せば同じでした。ありがとうございました。