y´´+y´-2y=e^x+xの微分方程式

質問

答えに自信が持てません、アドバイスをお願いします。

y´´+y´-2y=e^x+xの微分方程式ですが、
これを２階非同次線形ay´´ + by´ + c = r(x)の解法で解いたところ、

特性方程式より
t^2+t-2=0 , (t+2)(t-1)=0 ,t=-2,1　(2個の実数解)
一般解はC1e^(-2x)+C2e^(x)

2個の実数解の時、特異解は　ay´´ + by´ + c = r(x)　,　t=α,βとして

1/｛a(α-β)｝{e^(αx)∫e^(-αx)r(x)dx　-　e^(βx)∫e^(-βx)r(x)dx}なので、α=-2,β=1として代入し、

-1/3{e^(-2x)∫e^(2x)(e^x+x)dx　-　e^(x)∫e^(-x)(e^x+x)dx}

=-1/3[e^(-2x)｛(1/3)e^(3x)+(1/4)e^(2x)・(2x-1)}　-　e^(x){x+e^(-x)・(-x-1)}]

=-1/3[(1/3)e^x+(1/4)(2x-1)　-　{xe^x-x-1}]

=-1/3[(1/3)e^x+(2x/4)-1/4　-　xe^x+x+1]

=-1/3[(1/3)e^x+(3x/2)+3/4-xe^x]

=-1/36[4e^x+18x+9-12xe^x]

∴C1e^(-2x)+C2e^(x)-1/36[4e^x+18x+9-12xe^x]

でいかがでしょうか？

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

最初から読んでいくと、まず、特性方程式を解いたところで、
C1 e^(-2x) + C2 e^(x) を「一般解」と呼んでいることが引っ掛かる。
C1 e^(-2x) + C2 e^(x) は、問題の方程式を斉次化した
y´´ + y´ - 2y = 0 の一般解であって、
y´´ + y´ - 2y = e^x + x 自身にとっては、解でも何でもない。

C1 と C2 に何の説明も付けていないことも、気になる。
一般解と言えば、任意定数が付くのはアタリマエだろ？という態度なのか。

特異解を見つける件に至っては、ただ式がズラズラ書いてあるだけで
何をどう考えて計算したのか書いてないから、読み通すだけでもかなり苦痛だ。

辛抱して読んでみると、どうやら正しく解を得ているような印象だが、
実のところ、本当に解ってやっているのかどうかは判らない。

せめて、何を α, β と置いたのか、
1/{a(α-β)} {e^(αx)∫e^(-αx)r(x)dx - e^(βx)∫e^(-βx)r(x)dx}
が何の式なのか、くらいは書こうよ。他人に読ませるつもりならさ。

お礼

いつもお世話になります。

色々と雑な書き方になってしまい申し訳ありません。
恐らくalice_44さんの言う通り私の理解が不十分なのです。

>>y´´ + y´ - 2y = e^x + x 自身にとっては、解でも何でもない。
与式自身の一般解だと思っていました、この前のレポートでも書きました…減点ですね…

>>C1 と C2 に何の説明も付けていないこと
”任意定数であることを示す”事の認識が甘かった様です。

>>辛抱して読んでみると

読んで頂いてありがとう御座います。細かい部分まで書くと長くなり過ぎるかと思い、計算式をズラズラ書いたのが失敗でした…

ともあれ、いつも的確なご指摘、ありがとう御座います！