極限値

質問

区分求積からｌｉｍ（ｎ－＞０）1/nΣ[k=0,n-1](k/n)=∫(0->1)xdxとなるのは、わかりますが、
次の場合はどうなるのか、教えてもらえると有り難いです。
(1)ｌｉｍ（ｎ－＞０）(1/n)^2Σ[k=0,n-1](k/n)
(1/2)/n で、０というのは、あまりに間違っていると思います。
　正しい、解答はどうなるのでしょうか。
(2)ｌｉｍ（ｎ－＞０）1/nΣ[k=0,n-1](k/n)((k+1)/n)
これは、((k+1)/n)=(k/n)とみていいのでしょうか。
　正しい、解答はどうなるのでしょうか。
(1)、(2)について、基本的なことですが、よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

(1)は自然数の和の公式、(2)は自然数の平方和の公式をつかってはいかがですか。
　　Σ[k=1→n]k=n(n+1)/2, Σ[k=1→n]k^2=n(n+1)(2n+1)/6

(1) (1/n)^2 Σ[k=0→n-1] k/n =(1/n^3)×n(n-1)/2 =(1-1/n)/(2n)

(2) (1/n)Σ[k=1→n-1] (k/n){(k+1)/n} =(1/n^3)Σ[k=1→n-1] (k^2+k) =(1/n^3){n(n-1)(2n-1)/6+n(n-1)/2} =(1-1/n)(2-1/n)+(1-1/n)/(2n)

　後はn→∞にすれば極限値が求められます。

お礼

回答ありがとうございます
おっしゃる通りでした。
区分求積法を使わなくても良かった問題でした。
ただ、疑問はもし、区分求積をつかうとしたら
どうなるか。。。でした。

回答No.1

Tacosan

「区分求積からｌｉｍ（ｎ－＞０）1/nΣ[k=0,n-1](k/n)=∫(0->1)xdxとなるのは、わかりますが」
というのは本当ですか? これが「わかる」というなら, あなたは「区分求積法」をきちんと理解できていません.

お礼

回答ありがとうございます
ｌｉｍ（ｎ－＞０）でなくて、ｌｉｍ（ｎ－＞∞）でした。
これで、よろしくおねがいします。