シグマの初歩的な質問

質問

たとえばlim(n→∞)*1/nΣ(k=0→n-1)f(k/n)は区分求積法の一種ですが、このシグマにおいて(k=0→n-1)を(k=1→n)に変えるのは可能ですよね。

個人的な感覚としては微小な幅すべて同じなので、ひとつ右にずらしても合計の長さは変わらないので問題ないという感じですが、此れで正しいのでしょうか。

教えてください。どなたか、よろしくお願いします。

回答No.2

F_P_E · ベストアンサー

＃１のものです。

大学受験の場合でしたら、質問者さんのおっしゃる通りでも十分ですよ。大学受験で積分できない関数なんて、問題にするはずがありませんから(笑)

受験勉強、がんばってください＾＾

回答No.3

noname#47975

S1=1/nΣ(k=0,n-1)f(k/n)
S2=1/nΣ(k=1,n)f(k/n)

とおき、それぞれΣをはずすと、

S1 = 1/n{f(0) + f(1/n) + ... + f(n-1/n)}
S2 = 1/n{f(1/n) + f(2/n) + ... +f(n-1/n) + f(1)}

となります。

S2-S1 = 1/n{f(1)-f(0)}
となる事から、

S2 = S1+1/n{f(1)-f(0)}より、

lim[n→∞]S2 = lim[n→∞]{S1+1/n{f(1)-f(0)}}
=lim[n→∞]S1 + lim[n→∞]1/n{f(1)-f(0)}

となります。

ここで、lim[n→∞]1/n{f(1)-f(0)}=0より、
lim[n→∞]S2 = lim[n→∞]S1
となるので、同じ結果になる事が分かります。

回答No.1

F_P_E

はじめまして。

細かいことを言えば、

＞(k=0→n-1)を(k=1→n)に変える

と、極限の値（面積など）が常に一致する保証はありません。

上極限とか下極限という言葉がありますが、f(x)の関数の形によっては、(k=0→n-1)にして区分求積した場合（これが通常上極限）と(k=1→n)にして区分求積した場合（これが下極限）が異なってくることだってあるのです。具体例は今すぐには思いつきませんが。。。Webで上極限・下極限というキーワードで調べると何かわかるでしょう、きっと。

この上極限と下極限が一致しない場合、極限が存在しないことになり、要は面積を求められないということになります。

逆に上極限と下極限が一致するとき、極限が存在し、それを我々は面積（もしくは体積、超体積etc）と呼んでいるわけです。

この区分求積法はリーマン積分と呼ばれ、非常に直感に即した方法ですよね。しかし、上のように上極限と下極限が一致しないような関数の面積は求められないのですが、ルベーグという方は面積というものをもっと広く適用するべく結果的にルベーグ積分という理論を作り上げました（これは彼のMasterかDoctorの卒業論文だったそうです、天才って。。。）。このルベーグ積分はリーマン積分よりも適用範囲が広いことが厳密に示されています。質問者さんが大学生ならばルベーグ積分という言葉を頭の片隅にでも置いていただければ幸いです。高校生であった場合は忘れてください。

では、長くなりましたが、がんばってくださいね＾＾

補足

ありがとうございました。高校3年生です。

大学受験は僕の考え方で問題ないのでしょうか。