外力のある相対運動

質問

物体が二つあった場合、そこに働く力がお互いの相互作用（ばねなど）だけの場合は
換算質量を用いた相対座標系における運動方程式をとくことで、二つの物体の相対位置と相対速度がわかると思いますが、もしも物質AとBそれぞれに働く外力がことなる場合は、このように一つの運動方程式をとくことで相対位置を求めることができないのでしょうか？

回答No.1

yokkun831

以下，「~」はベクトル，「'」は時間微分を表すものとします。
F1~，F2~を外力，f~は相互作用とします。

m1r1~ '' = F1~ + f~
m2r2~ '' = F2~ - f~

r1~ '' = (F1~ + f~)/m1
r2~ '' = (F2~ - f~)/m2

r~ = r1~ - r2~　とおくと，

r~ '' = (F1~ + f~)/m1 - (F2~ - f~)/m2

外力が一様重力のように質量に比例する同一方向の力であれば，外力の項がキャンセルされますが，そうでない一般的個別的な外力の場合には簡単にはならないというだけで，解けないというわけではありません。また，初めの２式を辺々加えると，

m1r1~ '' + m2r2~ '' = F1~ + F2~

重心位置は
R~ = (m1r1~ + m2r2~)/M，　M = m1 + m2
ですから，

MR~ '' = F1~ + F2~

と重心の運動方程式は右辺が外力の合力となるだけです。

補足

ご回答ありがとうございます。
大変勉強になります。
物理に精通していらっしゃるようで、わかりやすい回答で参考になります。

気になったのですが、
絶対座標系⇒個々の物体の絶対速度、位置が分かる
相対座標系⇒複数の物体の相対速度、相対速度が分かる
と理解しているのですが、これでよろしいでしょうか？
そうであるならば、
絶対座標は個々の物体の情報がほしいとき、相対座標は物体同士の相対関係を知りたいときに
用いると思うのですが、
重心座標はどのようなときに用いるものなのでしょうか？

また、本質問からはそれてしまうかもしれませんが、
一本のばねの両端に物体AとBが繋がってる場合の物体Bを基準としたときの物体Aの運動を
相対座標系で考えると運動方程式は
M1*ra~'' = Fk
M2*rb~'' = -Fk
より、
(ra~ - rb~)'' = Fk*(1/M1 + 1/M2)となり、
M1M2/(M1+M2) * r～'' = Fk
Mは質量、ｒはAとBの相対位置、Fkはバネから受ける力
が得られますので、これを解くことでAとBの相対位置が分かるとおもうのですが
これは質点の話ですよね？
もしもこれが大きさをもっている剛体ならば、この運動方程式はどうなるのでしょうか？
つまり、剛体にこの方程式を利用した場合、これは剛体AとBの中心位置の相対位置がわかるのか
それともAとBの表面部分の相対位置がわかるのか、いまいち分からないのです。
よろしくお願いします。