円筒座標系において、r方向の運動方程式を運動量収支と外力を考慮して導出

質問

円筒座標系において、r方向の運動方程式を運動量収支と外力を考慮して導出する方法を教えてください。もしくはサイトを教えて下さい。

回答No.1

yokkun831

ご質問の意味が読み取れないのです。

まず，円筒座標系では通常(ρ,φ，z)と座標を表記しますが，「r」というのはこの表記でρのことですか？　つまり，(r，φ，z)という表記を使われたのでしょうか？

また，「運動量収支と外力を考慮して」とはいかなる意味なのかわかりません。

以下，「~」でベクトル，「'」で時間微分を表記します。

一般に，円筒座標系による質点の運動方程式は，次のように導出します。
座標基底（単位ベクトル）をe_ρ~，e_φ~，e_z~とし，質点の質量m，位置を
r~ = (ρ,φ,z) = ρe_ρ~ + ze_z~
とします。

基底の時間微分は，
e_ρ~' = φ'e_φ~
e_φ~' = -φ'e_ρ~
e_z~' = 0
となることを用いて，r~を２階時間微分すると

r~'' = (ρ''- ρφ'^2)e_ρ~ + (2ρ'φ' + ρφ'')e_φ~ + z''e_z~

となります。したがって，運動方程式の各成分は

m(ρ'' - ρφ'^2) = F_ρ
m(2ρ'φ' + ρφ'') = F_φ
mz'' = F_z

となります。ただし，ここで外力を
F~ = F_ρe_ρ~ + F_φe_φ~ + F_ze_z~
と書きました。

的外れでしたら，読み捨ててください。