- ベストアンサー
円筒座標におけるナビエストークス方程式の導出を教えてください．
デカルト座標でのナビエストークス方程式 を円筒座標系（ｒ,φ，ｚ）での式に変換するために 円筒座標系のナブラとラプラスを求めて， 速度を代入てみたのですが 計算しても出ない項があって困っています． 特にわからないのは ｒ方向の式の左辺の中で4つ目の項です． －ｖφ＾2/ｒ （ｖφは周方向の速度です．） 何かヒントやアドバイスがあれば教えてください．
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数2
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞特にわからないのは ｒ方向の式の左辺の中で4つ目の項です． －ｖφ＾2/ｒ 式の全体が載っていないので4つ目の項といわれても？？ですが、∇とからラプラス等を円筒座標系に変換するには次の展開を使ってコツコツやればでてくるのではないでしょうか、、、 x=rcosφ、y=rsinφ、z=z ∂r/∂x=cosφ、∂r/∂y=sinφ、∂φ/∂x=-sinφ/r、∂φ/∂y=cosφ/r ∂/∂x=∂r/∂x・∂/∂r+∂φ/∂x・∂/∂φ=cosφ・∂/∂r-sinφ・∂/(r∂θ)、∂/∂y=∂r/∂y・∂/∂r+∂φ/∂y・∂/∂φ=sinφ・∂/∂r+cosφ・∂/(r∂θ) 尚、ココ↓も参照してみてください。 http://odn.okweb.ne.jp/kotaeru.php3?q=964656
関連するQ&A
- 円筒座標系でのナブラ、ラプラシアン
流体力学のナビエ・ストークス方程式を 勉強しています。 途中で、円筒座標系における ナブラ∇、およびラプラシアンΔ が出てきて、 ∇=(∂/∂r, ∂/r∂θ, ∂/∂z) Δ=∂^2/∂r^2 + ∂/r∂r + ∂^2/(r^2∂θ^2) + ∂^2/∂z^2 となっています。 なぜ、変なところでrで割り算したり、 ラプラシアンの項が四つになったりしているのでしょうか。 どなたか分かる方、教えていただきたいです。
- ベストアンサー
- 物理学
- 円柱座標系によるナビエストークス運動方程式
円柱座標系においてナビエ・ストークスの方程式 を出そうと思うのですが、 ｒ成分では、たとえば τθθ/r の項（粘性項）が出ません。 扇形の収支式から考えているのですが、応力によるτ がうまく本と一致しません。 いろいろな文献を見てみたのですが、 ほとんどが直交座標系によるもので書いてありません。 説明するのがやや難しいかもしれませんが、お願いします。
- 締切済み
- 物理学
- デカルト座標系と円筒座標系
デカルト座標系から円筒座標系にかあえて計算するときに、dxdydz→rdrdφdzと表記されますが、この「r」drdφdzのrとはなんなんでしょうか？ 教えてください。
- ベストアンサー
- 物理学
- 流体力学 円筒座標系
円管内の速度分布を考えるとき、せん断応力を計算して μ(1/r)∂{r(∂u/∂r)}/∂r という項が出てくると思います。 xyz座標系で計算してから∇^2=…の式を使って円筒座標系に変換すればこの項が出せるのですが、 初めから円筒座標系でr～r+Δrの円環を考えて…という方法で解くと上手く出せません。 円筒座標系で上の式を導く方法を教えてください。 宜しくお願いします。 ちなみに、下のが私のやっている計算です。 正しければ最終的には2πr dr Δz×μ(1/r)∂{r(∂u/∂r)}/∂rとなるはずなのですが… 間違っているところを指摘していただけると助かります。 ちなみにτ(r)というのはrにおけるτという意味です。 2πrΔzτ(r)-2π(r+Δr)Δzτ(r+Δr) =2πrΔzτ(r)-2πrΔzτ(r+Δr) (Δr→0 のとき r>>Δr だから) =-2πrΔz(∂τ/∂r)dr （テイラー展開） =μ2πrΔz(∂^2 u/∂r^2)dr （フーリエの法則）
- 締切済み
- 物理学
- ナビエ・ストークスについて（計算がしたいです）
質問します。 今、ナビエ・ストークスの式で解を求めたいのですがどうしていいか分りません。色々と自分なりに調べてみたのですがいまいち分りませんでした。 私が調べたい事は、チューブの中に水を流した時の解を求めたいです。 ナビエ・トークスの解析解では、チューブに水を流すとチューブの中心の部分に近づいていけば除々に速度が上がっていくことはわかりました。 これを数字で表わしたいのですが、ナビエ・ストークスの式は ∂v/∂t+(v・∇)v=K-1/ρ∇p+μ/ρΔv v:速度 t:時間 K:外力 ρ:密度 p:圧力 μ：粘性係数 ですよね？ そこで、速度、時間、密度、圧力、粘性係数はわかっています。 外力がなんであるかがよくわかりません。 後、外力以外は分かっているのですが上の式に数字を入れて計算するやりかたもよく分かりません。（ナブラなど） 分かる方、アドバイスなどよろしくお願いします。 もし、ナビエ・ストークスの簡単な例題などもあればよろしくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 円筒座標系でのベクトルの発散
円筒座標系でのベクトルの発散の計算が求まりません。 単位ベクトルをer、eθ、ezとしますと 計算の途中で出てくる∂er/∂θ、∂eθ/∂θ、∂ez/∂θ等の 項が計算できないからです。 そもそも私はデカルト座標系での発散の計算ももよくわかりません。 単位ベクトルをex、ey、ezとすると 計算の途中ででてくる∂ey/∂x=∂ez/∂x=0等になるのはわかるのですが∂ex/∂x=0になる理由がわかりません。 このあたりの理由がわかれば円筒座標系での発散もわかるのでしょうか。よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円筒座標系と球座標系の単位ベクトルに関して
直角座標系以外の円筒座標系と球座標系の位置ベクトルに関して質問があります。 まずは、円筒座標系から。 「円筒座標系で、原点とP(r,φ,z)との間のベクトルを求めよ」 直角座標系の場合だと、x,y,zのそれぞれの方向の単位ベクトルとそれぞれの方向の成分を 掛け合わせることで、ベクトルを表現できると思います。 しかし、円筒座標系の場合はどうなのでしょうか？ 単純にx,y,zと同じようにr,φ,zについての単位ベクトルをa,b,c（例として）とし、成分を掛け合わせ OP=r*a+φ*b+z*c となるのでしょうか？ しかし、これではおかしいと感じます。というのも、 とくにφはいったいどういう向きの単位ベクトルなんでしょうか？ 円方向の単位ベクトルってことになるんでしょうかね？ そうでなければ、座標変換して x=r*cosφ y=r*sinφ z=Z として、直交座標の場合と同じようにやるのでしょうか？ 球座標系に関しても同じ質問です。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円筒座標系の位置ベクトル
円筒座標系の位置ベクトルｒを（ξ、φ、ｚ）の基本ベクトルを用いて示すと ｒ＝ξ×eξ＋ｚ×eｚ （eの後ろのξとｚは添え字） であってますか?? その場合速度ベクトルｖはどうやって表せるのですか?? 回答お願いします<(_ _)>
- ベストアンサー
- 物理学
- 球座標系の拡散方程式
ある論文を読んでいるのですが、二つの式の関係がわからなくて困っています。球状の気泡の成長に関するモデルです。一つ目の式中に, ∂c/∂r |_r=R ・・・(1) という項が出てきます。半径ｒ=Rのときの∂c/∂rの値という意味です。二つ目の式は球座標の拡散方程式の径方向成分です。 ∂c/∂t = (D/r^2)*(∂/∂r)*(r^2*∂c/∂r)・・・(2) 論文では「(1)は式(2)を積分法で解析的に解いて求めた。」とあるのですが、具体的にどういう手順で解いたのかがわからなくて困ってます。 ・(2)式の右辺は微分してD(∂^2c/∂r^2 + (2/r)*(∂c/∂r))と変形できるとおもいますが、積分するのだからこんなことしなくてもいいのでしょうか。 ・定常状態として(2)式の左辺を0として、適当に境界・初期値条件を入れて解いたということでしょうか。それとも非定常状態としてそのまま左辺も右辺も積分するのでしょうか（それができるのかどうかもわかりませんが）。 計算手順の概略だけでも教えていただくと助かります。細かい計算は自分でやりますので。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ３次元極座標での速度の発散
３次元デカルト座標での速度Vの発散は （ ∂V_ｘ／∂ｘ ） ＋ （ ∂V_ｙ／∂ｙ ） ＋ （ ∂V_ｚ／∂ｚ ） となってできるのですが ３次元極座標での速度Vの発散は （ ∂V_ｒ／∂ｒ ） ＋ （ ∂V_θ／∂θ ） ＋ （ ∂V_Φ／∂Φ ） とすると、その後の計算で、[T＾-1]のディメンジョンの方程式のはずが、（cosθ／ｓｉｎθ）Ｖ_θという項が出てきてしまい、ディメンジョンが合わなくなってしまいました。 原因は速度の発散を （ ∂V_ｒ／∂ｒ ） ＋ （ ∂V_θ／∂θ ） ＋ （ ∂V_Φ／∂Φ ） としてしまったことにあると思いますが、では、極座標での速度の発散をどうすればいいのでしょうか？ よろしくお願いしますm(*-_-*)m
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
お礼おそくなり，すみません，急に腱鞘炎になってしまいました．参照のページをみてもう一度考えてみたいです．