流体力学 円筒座標系

質問

円管内の速度分布を考えるとき、せん断応力を計算して
μ(1/r)∂{r(∂u/∂r)}/∂r
という項が出てくると思います。
xyz座標系で計算してから∇^2=…の式を使って円筒座標系に変換すればこの項が出せるのですが、
初めから円筒座標系でr～r+Δrの円環を考えて…という方法で解くと上手く出せません。
円筒座標系で上の式を導く方法を教えてください。
宜しくお願いします。

ちなみに、下のが私のやっている計算です。
正しければ最終的には2πr dr Δz×μ(1/r)∂{r(∂u/∂r)}/∂rとなるはずなのですが…
間違っているところを指摘していただけると助かります。
ちなみにτ(r)というのはrにおけるτという意味です。
2πrΔzτ(r)-2π(r+Δr)Δzτ(r+Δr)
=2πrΔzτ(r)-2πrΔzτ(r+Δr)　　(Δr→0　のとき　r>>Δr　だから)
=-2πrΔz(∂τ/∂r)dr　（テイラー展開）
=μ2πrΔz(∂^2 u/∂r^2)dr　　（フーリエの法則）

回答No.2

tareo

一応補足ですが、

＞正しければ最終的には2πr dr Δz×μ(1/r)∂{r(∂u/∂r)}/∂rとなるはずなのですが…

2πr dr Δz×μ(1/r)∂{r(∂u/∂r)}/∂r→2π dr Δz×μ∂{r(∂u/∂r)}/∂r
だと思います。
なぜなら、上式の2πrのrと(1/r)が打ち消し合います。
たぶん最終的に左辺＝右辺と置いて整理したら出てくると思います。

回答No.1

tareo

たぶん、以下のような事が原因ではないでしょうか？。
＞2πrΔzτ(r)-2π(r+Δr)Δzτ(r+Δr)
＞=2πrΔzτ(r)-2πrΔzτ(r+Δr)　　(Δr→0　のとき　r>>Δr　だから)
上式のように、この段階でΔr→0の様な極限操作をするのならτ(r+Δr)も同様に行わなければならないと思います。なので、当然それは差し引き０になります。ですからこのような極限操作は望ましくありません。最初の式に戻って、素直に計算していけばよいのではないでしょうか？。以降、テイラー展開して整理すると、２次の微少量(Δr)^2が出ますので、この項をr>>（Δr）^2として、切るのが良いと思います。
つまり、必要な情報を途中で、不公平に切ってしまったために誤差が大きくなったという事だと思います。
以上ですが、参考になれば幸いです。