流体力学 二重円筒
次の問題を自分で解いてみたのですが正解であるか不安です。正解かどうか教えてください。お願いいたします。
問題
図のような同軸の二重円筒に流体を満たし内側円筒のみを回転させ、軸トルクを測定することで 流体の粘度を測定しする装置について考える。内側円筒と外側円筒の半径をそれぞれR_i=20mm,
R_o=30mmとし、回転角速度をΩとする。以下の問いに答えよ。
（1）回転開始から時間が経過し、流れが定常に発達した状況を想定する。代表長さを流体層厚さd ＝R_o-R_i，代表速さを内側円筒壁面の速度とするレイノズル数Reがおおよそ40以下の場合、流れ は周方向速度のみをもつ軸対称クエット流れとなり、軸トルクの計測から粘度が求まる。測定可能 な最低粘度を0.01Pa・s とするとき、設定可能な最大の円筒回転角速度Ω_maxを求めなさい。ただ し、流体の密度はρ＝10^3kg/m^3とする。
（2）（1）の条件が満たされるとき、流れの周方向速度成分u_θは以下の常微分方程式に従う。これ を適切な境界条件のもとで解き、u_θの半径方向速度分布を求め図示しなさい。
d^2（u_θ）/dr^2＋1/r(d(u_θ)/dr)-u_θ/r^2=0
なおω＝u_θ/rなる変数変換を用いてよい。
（3）回転角速度Ω＝１rad/sに設定し、粘度μ＝0.05Pa・sの液体を計測する。トルクの計測において
円筒上下の境界や機械的な摩擦の影響がないものとして、（2）で得られた速度分布をもとに粘性 せん断応力から得られる軸トルクTの値を求めよ。なお円筒の軸方向長さL=50mmとし、せん断応 力は
τ_rθ＝μ（d(u_θ)/dr-u_θ/r)
で与えられるものとする。
（自分の答え）
（1）
Re=u_θd/ν＝40より
u_θmax＝40×10^-5/(0.03-0.02)=0.04
u_θmax=R_iΩより
Ωmax=2rad/s
(2)
常微分方程式を次のように変形する
r^2u"+ru'-u=0
ここでu=r^λとおいて代入して得られる特性方程式は
λ^2=1
したがって一般解は
u_θ＝C_1r_^-1+C_2r
境界条件ｒ＝R_iのときu=ΩmaxR_i,r=R_oのときu=0より
C_２=Ω_maxR_i^2/(R_i^2-R_o^2)=-1.6
C_1=-R_o^2C_2=1.44×10^-3
u_θ＝（1.44×10^-3）r^-1-1.6ｒ
（3）
u'=（-1.44×10^-3）r^-2-1.6
ニュートンの粘性法則より
τ_rθ=μu'
よってトルクTは
T=2πR_iL×(τ_rθ｜ｒ＝R_i)×R_i=-9.04×10^-6[N・M]
