流体力学の問題がわかりません＞＜

質問

外半径がa,内半径がbの水平な同心円管のあいだを流れる流体(粘性率η)について、管の長さをl,両端の圧力差をΔpとすると、単位時間に流れる流体の体積は次式で与えられることを示せ。
πΔp/8ηl{a^4–b^4–(a^2–b^2)^2/log(a/b)}
どうかよろしくお願いいたします。

回答No.1

Ae610 · ベストアンサー

質問文には特に何も書いていないが、「poiseuilleの流れ」であろうと思う。
（そのように仮定して考える・・・！）

内径b、外形aの円管断面の場合にこの円管内を定常状態で流れる場合の微分方程式を円柱座標により書くと(質問文の仮定を踏まえて・・・)
1/r・d/dr{(r・du/dr)} =－1/η・dp/dx =－1/η・Δp/L (1と見まごうのでlをLで書く！)
よって
d^2u/dr^2＋1/r・du/dr =－1/η・Δp/L・・・(1)
(1)を解くと
u =－Δp/4ηL・r^2＋C1・logr＋C2
r = a , r = bのときu = 0であることからC1を求めると
C1 = Δp・(a^2－b^2)/(4ηL・log(a/b))
またu = 0のときはC1・logr＋C2 = Δp/4ηL・r^2・・・(2)
である。

よって、この円管を通って単位時間に流れる流量をQとすれば
Q = 2π∫[b→a]{ur}dr
= 2π∫[b→a]{(－Δp/4ηL・r^2＋C1・logr＋C2)・r}dr
= 2π∫[b→a]{－Δp/4ηL・r^3＋C1・rlogr＋C2・r}dr
= 2π[－Δp/16ηL・r^4＋(C1・r^2・logr)/2－(C1・r^2)/4＋(C2・r^2)/2]|u=b→a
= 2π[－Δp/16ηL・r^4－(C1・r^2)/4＋r^2/2・(C1・logr＋C2)]|u=b→a
= 2π[Δp/16ηL・r^4－(C1・r^2)/4]|u=b→a (∵(2)から)
= 2π[Δp/16ηL・(a^4－b^4)－Δp・(a^2－b^2)^2/(16ηL・log(a/b))]
= (πΔp/8ηL)・(a^4－b^4－(a^2－b^2)^2/log(a/b))