流体力学/円管～円筒隙間の流速

質問

内径r1の円管の中に、外径r2の円筒が入っており、
これらは同軸で、且つ軸は鉛直方向を向いている状態です。
この円管～円筒の隙間に密度ρ、粘度ηの流体を上端から注入した時、
この流体の鉛直方向の流速(単位時間当たりの体積)を求めたいのですが、
どのように算出すれば良いでしょうか。
円管と円筒の上端/下端位置は同一。また、上端/下端は大気開放です。
また、注入時の初速は与えず、イメージとしては、上端に広がった水平面に
流体が広がっていて、そこから自然に隙間に流れ込むイメージです。
ハーゲンポアズイユの式の変形で行けるような気がしてますが・・・。

回答No.1

masa2211

円管と円筒の隙間はどれくらいですか？
流体は水で、隙間は数ミリ以上と仮定します。

＞ハーゲンポアズイユの式の変形で行ける
ノーです。与条件では流速が相当速くなり、ハーゲンポアズイユの式の条件（層流である）を満たしません。
（隙間が非常に狭いときに限りハーゲンポアズイユの式が使える。）

よって、この場合、マニング式、クッター式、ヘイズンウィリアムス式あたりを使用することになります。
マニング式はこちら。（上記の式は、粘度ηは事実上関係ないかわりに、管の壁の粗さが関係する。）
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9E%E3%83%8B%E3%83%B3%E3%82%B0%E5%85%AC%E5%BC%8F
ここで、式中の潤辺が、一般の場合と異なり、内側の円周と外側の円周の合計値となること、
Ｉは勾配で、今回は鉛直なのでＩ＝1であることに注意。

マニング式で片が付かない注意点として、マニング式で計算した計算流速が約8.5ｍ/ｓ
より大きくなった場合、8.5ｍ/ｓで頭打ちがかかる点に注意してください。
（管の途中が真空となるので、その時点で速度打ち止めとなる。）
かつ、マニング式は、管の延長がかなり長い場合の式なので、
かつ、管が短い場合は、Ｖ＝√2ｇＨ（Ｈは、管の長さであり落差でもある。）で計算したほうが正確です。

補足

masa2211様

ご教示ありがとうございます。
元の質問文に記載すべきでしたが、
今、検討しようとしているものは以下の通りです。
流速の他、表面張力の効果も無視できない状態かと予測していますが・・・。

> 円管と円筒の隙間はどれくらいですか？
0.5mm程度の微小隙間です。

> 流体は水で、隙間は数ミリ以上と仮定します。
水ではなく、粘度10Pa・s以上の粘性流体です。