材料力学です

質問

間違いがあれば指摘してください
図のように、段付き丸棒と円筒からなる組合せ棒について考える。αは熱膨張係数である。
段付き丸棒と円筒は同軸に配置して下端を剛体床に固定し、上端には平らな剛体板を接着することなく置く。
ただし、段付き丸棒および円筒の自重と剛体板の重さは無視する。また、座屈は生じないものとする。

（１）段付き丸棒と円筒に生じる応力は？
段付き丸棒にかかる荷重をP1
円筒にかかる荷重をP2
とする。よって力の釣り合いと変形の釣り合いは
P＝P1+P2・・・(1)
λ１＝λ２・・・(2)
↓計算して
σ１＝４E1・P/（４A１・E１+３A2・E2）
σ２＝３E２・P/（４A１・E１+３A2・E2）

（２）荷重Pが作用した状態で、温度がΔTだけ上昇したとき、段付き丸棒に生じる応力が０となるΔTの限界値を求めなさい
σ１＝０よりP１=０
よってP＝P1+P２＝P2
円筒がPによって変形λ２＝（２PL）/（A2・E２）
このλはΔTによって段付き丸棒と円筒の伸びの差と等しくなければならない
すなわちλ２＝（２PL）/（A2・E２）＝（α２ーα１）ΔT２Lでなければならない

よってΔTはP/｛（α２ーα１）A2・E２｝

と考えました。

回答No.1

AoDoc · ベストアンサー

「温度がΔTだけ上昇したとき、段付き丸棒に生じる応力が０となる」と言うことは、荷重が作用していない、P1=0と剛体板を押すことなく、自由膨張しているという意味で、この時の伸びは2α1ΔTL。一方、円筒は、Pによる収縮、-2PL/(A1・E2)と,熱膨張量 2α2ΔTLとの和、-2PL/(A1・E2)＋ 2α2ΔTLとなります。この値が段付き丸棒の自由膨張量と等しくなります。結果は同じです。"自由膨張している"事が無いと応力が生じます。

お礼

答えがなくて困ってました
すっきりしてよかったです
ありがとうございましたヾ(*´∀｀*)ノ
ふと疑問なんですが温度上昇ΔTが限界値以下の時って段付きにも円筒にも応力が発生しますよね？
その時の応力ってどうやって求めるんですか？