材料力学の問題

質問

材料力学の問題です。教えてください...

図1のような内径d、肉厚t、長さlの薄肉円筒があり、この両端は剛体版で塞がれている。
円筒内には圧力pの液体が封入されている。

ただしt<<dとして応力は肉厚方向には変化しないこととする。またlはdに対して十分長いものとするとき、以下の設問に答えよ。
(1)円筒に生じている周方向の応力σtを図2のような円環右半分の力の釣り合いから求めよ。
(2)円筒に生じている軸方向の応力σaを図3のような円筒右半分の力の釣り合いから求めよ。
(3)円筒側面にx-y軸を取り、図4に示す微小三角形要素ABCを考えるとき、角度θ傾いた面に発生する応力σθをσaとσtを用いて表せ。
(4)剛体版に図5に示すような外向きの引張荷重Fを加える場合、円筒側面に働く応力σθがθに関わらず一定値となるときのFを求めよ。

特に(4)がわからず困っています。σθのx成分を取り出せばいいのでしょうか...、となるとτθのx成分も関わってくるのか...?
お願いします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

(1)のσtと(2)のσaはOKなんだろうな、と想像します。

　(3)は基本的に2次元の応力変換公式になるはずです。ざっと書けば、

　　(σθ，τθ)＝A(θ)・(σa，σt)　　(a)

です。ここで両辺の横ベクトルは縦ベクトルと思って下さい。A(θ)はθのみで決まる行列です。導くには、三角形の辺の長さを考慮して、x方向，y方向の力の釣り合いを考えます。

　(4)は、剛体板に力Fが作用した時、lは十分長いので軸方向にしかその影響はないとして良いんだと思います。そうすると応力の定義から、Fによる軸方向応力σfは、

　σf＝F/(π・d^2－π・(d－t)^2)　　　(b)

です。ここで分母は、円筒の断面積。本当は圧力Pもちょっとは変わるはずですが、状態方程式も何も出てこないので、軸方向応力はσa＋σfとしてたぶん良いのでしょう。ここで(a)に戻って、

　　(σθ，τθ)＝A(θ)・(σa＋σf，σt)　　(c)

によって計算したσθが、θが変化しても一定となるようにσfを定め、(b)からFを逆算せよという意味に取れます。

　最後の計算は、ちょっと面倒臭いかもですが・・・(^^;)。

お礼

その後試行錯誤してみて解決しました!、本当に助かりました!

補足

返信が遅くなり申し訳ないです。別の作業につきっきりで手がつけられない状況ですが、(3)ではcos2θの項が出るところまでは予想がつきます。この項を消すようにσfを求めればいいのでしょうか?(となると引き算?)
実は電気電子系の専攻で材料力学は初心者です...。