円筒コンデンサー中の誘電体の動き

質問

同軸で長さLの半径R1、R2（R1<R2）の円筒型コンデンサに、
厚さR2-R1（コンデンサの隙間と同じ）、長さLのコンデンサ誘電率ε1の誘電体をx(x<L)だけ入れ、電圧Vをコンデンサにかけた所、誘電体はコンデンサの中に入っていくそうです。ただ、その仕組みがよくわかりません。なぜでしょうか、教えてください。よろしくお願いします。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

>誘電体に動き方向の力は与えられた数値から求める事ができるのでしょうか？

これは誘電体に対してなされた仕事から計算するのがよいでしょう。

誘電体になされた仕事 + コンデンサに蓄えられた静電エネルギーの増加 = 電源が行った仕事

の関係が成り立ちます。
つまり、
誘電体になされた仕事 = 電源が行った仕事 - コンデンサに蓄えられた静電エネルギーの増加
となります。

電源が行った仕事は電荷の量の変化をΔQとすると、ΔQ*Vになります。これを挿入量xの関数としてあらわします。
コンデンサに蓄えられた静電エネルギーの増加量も挿入量の関数として得られるはずです。

これから、挿入量xの時の誘電体になされた仕事の量がxの関数として得られます。

力の大きさは仕事を挿入量xで微分すれば得られます。

お礼

ご回答、丁寧な解説ありがとうございました。
これなら自分もできると思います。

回答No.2

rnakamra

#1のものです。

>極板における表面電荷密度が誘電体領域と異なることはわかったのですが、反発力が働くとお互い離れる方向に力が働くと思ったのですが、なぜ電荷が広がる（均一になる）方向に移動するのかがいまいち分かりません。

誘電体に触れている部分のだけで考えると、この領域だけで電荷の反発があり、電荷は広がろうとします。
当然、この電荷は誘電体が触れていない部分にある電荷からも反発力を受けるため広がるのを阻止されるのですが、誘電体が触れている部分と触れていない部分では電荷密度が異なり、触れている部分の内部の反発力による広がろうとする力が、触れていない部分から受ける押さえ込む力よりも大きくなり、誘電体に触れている領域の電荷が広がる方向に進行します。

補足

ご回答ありがとうございました。
成る程！納得しました。
電場を均一にかけると、表面電荷は誘電体が触れている部分のほうが大きくなる。つまり電子（または陽子）密度が濃くなり、極板全体に反発力によって分散する。極板、誘電体間には勿論引力が働いており電子（または陽子）の移動につられて誘電体も動くという事ですね。
また質問なのですが、誘電体に動き方向の力は与えられた数値から求める事ができるのでしょうか？できれば時刻tにおける速度を求めたいと頑張っております。できれば教えていただきたいのですが・。よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra

ご質問は、エネルギー的に得であるからその方向に動くというような話ではなく、中に入っていくドライビングフォースは何であるのか、ということでよろしいでしょうか。
それを前提にお話をします。

誘電体があろうと無かろうと、極板間の電圧が一定であれば中心からの距離が同じであれば電界の大きさは変わりません。これは極板表面近傍でも同じです。
では、極板表面の電荷密度はどうなっているのでしょうか。
これは、誘電体に触れている部分の電荷密度が大きくなります。
なぜなら表面近傍での電界をEとすると表面電荷密度σは次のように表されます。
σ=εE
Eの大きさは誘電体の有無によらず同じ値である以上、表面電荷密度の大きさは誘電率に比例するということです。

極板表面に電荷が存在すると、当然のことながらその電荷同士に反発力が発生します。当然のことながらこの反発力は電荷密度が大きいほうが強くなります。
今回の場合でも誘電体に触れている部分の電荷密度が触れていない部分の電荷密度よりも大きいため、より大きい反発力が発生、誘電体に触れていない領域に広がろうとします。
同時にこの電荷は、誘電体上に誘起された電気双極子との間に引力が働いています。
つまり、電極の誘電体に触れている部分にある電荷は触れていない部分に進もうと力が働き、さらにその電荷によって誘電体が引っ張られ中に入っていこうとするのです。

補足

ご回答ありがとうございました。
極板における表面電荷密度が誘電体領域と異なることはわかったのですが、反発力が働くとお互い離れる方向に力が働くと思ったのですが、なぜ電荷が広がる（均一になる）方向に移動するのかがいまいち分かりません。触れ合っている部分では誘電体表面の電荷と極板の電荷は引きあうので、その引力で中に入っていくということでしょうか？