誘電体にかかる力

質問

問：極板間隔d,横幅l,奥行a,の平行平板コンデンサがあり、この間に右から誘電率εの誘電体を挿入した。電極間に電圧Vをかけたときの誘電体にかかる力をもとめよ。
という問題の解答はこうなってました。

（以下、真空の誘電率ε0と表わします。）
横軸にxをとり、
静電容量：C=εax/d + ε0a(l-x)/d
エネルギーWは、W=1/2*CV^2
かかる力：F=∂W/∂x=(v^2/2)*a(ε-ε0)/d

疑問点は、かかる力を求めるときに、マイナスはいらないと言ってたのでしたがなぜでしょうか？
この場合、ε>ε0より力の方向は外向きの力を受けますよね

教えてください！

回答No.1

foobar

この問題を解くときには、本質的に厄介な点があります。
仮想変位使う際には、（計算する力以外には)外部とエネルギーのやり取りがない条件で考える必要があります。
電圧Vが一定、ということは外部に電源が繋がっていて、静電容量が変化した際に静電エネルギーが変化すると同時に、電源とのエネルギーのやり取りがあり、そのままでは仮想変位を使えません。
そこで、電源とやり取りするエネルギーまで計算に入れると、容量がdCだけ増加したときのエネルギーは、
静電エネルギーの変化 (1/2)dCV^2
電源のエネルギー変化（放出なので、マイナス) -dC V^2
結果、系のエネルギー変化は　-(1/2) dCV^2
になって、誘電体を吸引する向きの力になります。
（FをWの微分で計算するときには、どちら向きの力を正にとるかで、式の符号は変わったりしますが）

で、符号の面倒のないすっきりした計算をするときには、電荷Qが保存するのを利用して、
静電エネルギー =(1/2)*Q^2/C
で処理すると、整合性良く計算できたりします。

補足

回答ありがとうございます。
アドバイスを参考にさせていただくと、・・・
容量の変化：dC=ax(ε-ε0)/dより
系のエネルギー変化：W=(-V^2/2)*ax(ε-ε0)/d
∂W/∂x=-(v^2/2)*a(ε-ε0)/d
X軸を右方向を正とすると。
吸引される方向の力を受ける。
って感じで合ってますでしょうか？