極板に挿入された誘電体に働く引力

質問

平行平板コンデンサーの二枚の長方形極板がある。
その座標が、0≦x≦a，0≦y≦b，z＝d（d＞0）と表される方が電荷Qを帯び
0≦x≦a，0≦y≦b，z＝0と表される方が、電荷-Qを帯びていている。
極板間には、その断面が0≦y≦b，0＜z＜dで表される誘電率εの十分長い誘電体棒が
X軸の正方向に向かい、0＜xくLの部分まで挿入され、残りのL＜x≦aの部分は真空（誘電率εo）であるとする。
極板の端の効果を無視すれば、極板問の電場は至る所、等しい。

極板間に誘電体棒を引き込もうとするカFを求めよ。

というような問題です
汚い図で申し訳ないのですが、以下のような状態かと思われます。
この問題が出るまでの課程で、全正電荷エネルギーU=d Q^2 / 2b(εX+εo a)を求めさせられました。
このエネルギーを利用して解くのでしょうが、単純にFx=Uとするわけにもいかないでしょうし、いまいちわかりません。
ご回答よろしくお願いします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

多分，私が添付した図のような状況じゃないかと推測します．間違ってたらごめんなさい．

このコンデンサは誘電体εが挿入されたコンデンサと，真空コンデンサの並列接続とみなすことができ，

誘電体が挿入されたコンデンサの静電容量は
C' = εbx/d,
電荷は
Q' = (x/a)Q
したがって，静電エネルギーは
U' = (1/2)Q'^2/C' = (1/2){d/(a^2 b)}(Q^2/ε)x.

真空コンデンサの静電エネルギーU0は，上の式で
ε→ε0,
x→a-x
と置き換えることで得られる
U0 = (1/2){d/(a^2 b)}(Q^2/ε0)(a - x).

結局，このコンデンサの静電エネルギーは
U = U0 + U' = (1/2){d/(a^2 b)}Q^2 {x/ε + (a - x)/ε0}.

このとき，
F = -∂U/∂x
= -(1/2){d/(a^2 b)}Q^2 (1/ε - 1/ε0)
= (1/2){d/(a^2 b)}Q^2 (1/ε0 - 1/ε) (> 0).

誘電体の棒の先端がx = aに達するまで力の大きさFはxの値によらずに誘電体の棒はコンデンサに引き込まれ，棒の先端がx = aの位置に来た時点で力は0になる．

お礼

ご丁寧にありがとうございました。
とても助かりました。