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誘電体の中に誘電体がある場合について

比誘電率ε_2の大きな誘電体の中に比誘電率ε_1の誘電体の球(半径R)が埋め込まれていて,全体に対して外から+x方向を向いた一様な電場E_0がかかっている.このときの誘電体球の内部の電場を求めよう. 2種類の誘電体の内部での電荷密度はゼロなので,各誘電体の内部での電位(r)はラプラス方程式△V(r)=0の解である.境界面に分極電荷が現れるが,分極電荷の作る電場は遠方ではゼロになる.そこで,前節の例を参考にすると,電位はV(r)=-(E_0)rcosθ+acosθ/r^2 (r>R) a:定数 , V(r)=-E_1rcosθ (r<R)という形をしていることがわかる.(ここでは電位がこのようになるとしておいてください,この式が成立するというのはわかります) cosθ/r^2という形の項は球の中心で無限大になるので,誘電体球の内部の解には含まれていない.したがって,誘電体球の内部の電場E_1は外部からかけた電場E_0に平行で一様であることがわかる. まず一つ目の質問なのですが,なぜここでE_1とE_0が平行で一様であるということがわかるのでしょうか? 式が成立するのはわかりますが,なぜこの事実が言えるのかということがわかりません. また本の続きですが,2種類の誘電体の境界面(r=R)に分極電荷が存在するので,境界面で電場は不連続であるが,電位は連続なのでa=(E_0-E_1)R^3という関係が得られる. 2種類の誘電体の境界面で電束密度の外向きの法線方向成分D_n=(ε_r)(ε_0)E_n=-(ε_r)(ε_0)∂V/∂r・・・(1)は連続なので(ε_1)E_1=ε_2(3E_0-2E_1)・・・(2)という式が導かれる. E=-gradVというのはわかるのですが,なぜE_n=-∂V/∂rというようにr方向のみに依存しているということがわかるのですか? この場合,電場はθ方向などにも依存するのでは・・・. また,(1)が成り立つと認めた場合に(2)をどのようにして導いたのかがよくわかりません. 分かる方がいらっしゃいましたら教えていただけると本当に助かります. よろしくお願いいたします.

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>なぜここでE_1とE_0が平行で一様であるということがわかるのでしょうか? 球内部の電場を計算してみましょう。 >E=-gradVというのはわかるのですが,なぜE_n=-∂V/∂rというようにr方向のみに依存しているということがわかるのですか? 球の法線方向の成分は、今の場合にはr方向の成分の事ですので、E_n=-∂V/∂rになるというだけの話です。 Vがθやφに依存していない、電場がr方向を向いているなどという事は主張していません。 単なる定義の話です。 >また,(1)が成り立つと認めた場合に(2)をどのようにして導いたのかがよくわかりません. 説明にも書いてあるように、D_n=-ε_rε_0∂V/∂rがr=Rで連続である事から導くだけです。

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