流体力学の問題です

質問

微小距離ｈだけ離れて向かい合った半径Rの二枚の並行円板の一方を角速度ωで回転させる。隙間が粘度μの液体で満たされているとき、抵抗モーメントはいくらか。
という問題です。誰か教えて下さい。お願いします。

回答No.1

FT56F001

まず粘性μの定義を確認します。
距離dyを隔てた流体の速度がdu違う時,面積あたりτの摩擦力が働く。

τ=μdu/dy

τ:面積あたりの摩擦力[N/m^2]
μ:粘性係数[Pa・s]
u:速度[m/s]
y:距離

さて，これを問題に適用します。
> 微小距離ｈだけ離れて向かい合った半径Rの二枚の並行円板の一方を
> 角速度ωで回転させる。隙間が粘度μの液体で満たされているとき、抵抗モーメントはいくらか。

半径rのところで，一方の円板はωrの接線速度を持ちます。
速度勾配du/dy=ωr/hとなり，
τ=μωr/hの単位面積当たりの力が働きます。
半径rからr+drの面積，2πrdrに対して，
dF=μωr/h×2πrdr=2πμωr^2dr/hの力が働き,
力のモーメントdMは，dM=dF*r=2πμωr^3/hdrになります。
全体を積分すると,

M=∫[r=0→r=R]μω2πr^3/hdr
=μω2πR^4/(4h)=μωπR^4/(2h)

となります。

検算として単位を確認しておきます。
μωπR^4/(2h)の単位
[Pa・s×rad/s×m^4/m]
=[N/m^2×m^4/m]=Nm=力のモーメントの単位