力学の問題の解答で下記の点がわかりません。

質問

力学の問題の解答で、理解できないところがあるので教えていただけませんか。
問題は下記の通りです。

【共通の固定軸のまわりに角速度ω1，ω2(ω1≠ω2)で回転している剛体(慣性モーメントはそれぞれI1， I2)が急に連結されて1つの剛体になる場合について、以下の問い((1)～(4))に答えよ。
(1)連結前の全体の運動エネルギーはいくらか。
(2)連結後の剛体の角速度はいくらか。
(3)連結後の全体の運動エネルギーはいくらか。
(4)連結によって全体の運動エネルギーが減ることを示せ。】

この問題の解答は以下のようになっていました。
【(1)
慣性モーメントは、回転運動における回転しづらさのようなもので、直線運動に対する質量に対応する。
運動エネルギー=(1/2)(慣性モーメント)×(角速度)^2
なので、
E=(1/2)I1(ω1)^2+(1/2)I2(ω2)^2...答

(2)
角運動量の保存より
(角運動量)=(慣性モーメント)×(角速度)...直線運動での質量×速度に対応

慣性モーメントは和になります。

もとめる角速度をωとして
I1ω1+I2ω2=(I1+I2)ω
ω=(I1ω1+I2ω2)/(I1+I2)...答

(3)
(1)と同様
E=(1/2)(I1+I2)ω^2
=(1/2)(I1+I2)(I1ω1+I2ω2)^2/(I1+I2)^2
=(1/2)(I1ω1+I2ω2)^2/(I1+I2)...答

(4)
(1)の運動エネルギーをEi, (3)の運動エネルギーをEfとし、Ef/Eiを求めます(初状態Initial,終状態Final)。
Ef/Ei
=(I1ω1+I2ω2)^2/(I1+I2)・1/(I1(ω1)^2+I2(ω2)^2)
=(I1ω1+I2ω2)^2/{(I1+I2)・(I1(ω1)^2+I2(ω2)^2)}
=(I1^2・ω1^2+2I1I2ω1ω2+I2^2・ω2^2)/{I1^2・ω1^2+I1I2・ω1^2+I1I2・ω2^2+I2^2・ω2^2}

分子-分母
=2I1I2ω1ω2-(I1I2・ω1^2+I1I2・ω2^2)
=I1I2(2ω1ω2-ω1^2-ω2^2)
=-I1I2(ω1-ω2)^2
<0...慣性モーメントは(質量)×(回転軸からの距離)に対応するため、正

分母は慣性モーメントと角速度の平方との積の和なので、正

従って、分子<分母、分母>0なので、
Ef/Ei<1

Ef<Eiで、運動エネルギーが減少している。】

この問題の解答を見ていて思ったのですが、
(4)連結によって全体の運動エネルギーが減ることを示せ。
という問いで
分子-分母
=2I1I2ω1ω2-(I1I2・ω1^2+I1I2・ω2^2)
=I1I2(2ω1ω2-ω1^2-ω2^2)
=-I1I2(ω1-ω2)^2
<0
この時点で、Ef/Ei<1となって、連結によって全体の運動エネルギーは減るという題意は示されていると思うのですが、以下の操作は一体何のために行っているのでしょうか？
よろしければ教えていただけないでしょうか？

【慣性モーメントは(質量)×(回転軸からの距離)に対応するため、正

分母は慣性モーメントと角速度の平方との積の和なので、正

従って、分子<分母、分母>0なので、
Ef/Ei<1

Ef<Eiで、運動エネルギーが減少している。】

回答No.1

sa10no · ベストアンサー

Ef/Eiをちょっと計算したものの分子と分母の差が負になっているので、そのちょっとの計算の間に分母分子の符号が変わってしまった可能性を考えているのでしょうね。
極端な話、
Ef/Ei=(-Ef)/(-Ei)
分子-分母=-Ef-(-Ei)<0なら
Ef/Ei>1
になってしまうわけで。
Ef/Eiの計算は分母分子に(I1+I2)を掛けて展開しただけなので明らかに符号は変わらないはずですから自明なことなんですけどね。
正直、最初から差をとるか、比をとったならそのまま1より小さいことを示した方がスマートだと思います。

お礼

どうもありがとうございました！