流体力学の公式証明が解らない

質問

流体力学の中で証明の課題が出たのですが、全然解りません。初心者向けに教えてください。

ポテンシャル流
非圧縮流体、粘性無し、渦無し、一様流
球対称な流れの場合
ｒのみの関数の場合（ｒ＝ｘ．ｙ．ｚ）
Φ＝Φ（ｒ.θ．ρ）＝Φ（ｒ）のとき

ΔΦ＝ １／r2 ・ d/dr(r2・dΦ／dr)

２の数字は２乗です。 　

となることを証明せよというものです。
ベクトル解析を良く理解していないので、困っています。

回答No.2

tomtak · ベストアンサー

r=√(x^2+y^2+z^2)より、

∂/∂x = (∂r/∂x) d/dr = (x/r)d/dr
∂/∂y = (∂r/∂y) d/dr = (y/r)d/dr
∂/∂z = (∂r/∂z) d/dr = (z/r)d/dr

(※Φがrのみの関数であることを考慮して、θ、φ成分は無視しました。）

これより、

∂^2/∂x^2 = (x/r)d/dr{(x/r)d/dr}
　　　　　　= (x/r){(1/x-x/r^2)d/dr+(x/r)d^2/dr^2}
　　　　　　= (1/r)(1-x^2/r^2)d/dr+(x^2/r^2)d^2/dr^2

同様に、
∂^2/∂y^2　=(1/r)(1-y^2/r^2)d/dr+(y^2/r^2)d^2/dr^2
∂^2/∂z^2　=(1/r)(1-z^2/r^2)d/dr+(z^2/r^2)d^2/dr^2

となります。
よって、

Δ = ∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2+∂^2/∂y^2
　= (1/r)(3-r^2/r^2)d/dr+(r^2/r^2)d^2/dr^2
　= (2/r)d/dr+d^2/dr^2
　= (1/r^2)d/dr(r^2・d/dr)

よって、

ΔΦ　= (1/r^2)d/dr(r^2・dΦ/dr)

が成り立ちます。

お礼

回答ありがとうございます。
もっとしっかり勉強したいと考えています。

回答No.3

abyssinian

(xyz)座標系におけるラプラシアンの定義は
Δ ≡ ∂2/∂x2+∂2/∂y2+∂2/∂y2
である。
これを(rθφ)座標に変換するだけのことだが、θφ成分が無いので単純です。

微分の変数変換の公式
d/dx = (dr/dx)(d/dr)
を
r = √(x^2+y^2+z^2)
に適用すれば、

∂/∂x = (∂r/∂x)(d/dr) = (x/r)(d/dr)
∂/∂y = (∂r/∂y)(d/dr) = (y/r)(d/dr)
∂/∂z = (∂r/∂z)(d/dr) = (z/r)(d/dr)

さらにもう一度適用。
同時に (fg)'= f'g + g'f を使って
∂2/∂x2 = (x/r)（(1/x-x/r2)(d/dr)+(x/r)(d2/dr2)）

　　　　　　 = (1/r)(1-x2/r2)(d/dr)+(x2/r2)(d2/dr2)
∂2/∂y2 = (1/r)(1-y2/r2)(d/dr)+(y2/r2)(d2/dr2)
∂2/∂z2 = (1/r)(1-z2/r2)(d/dr)+(z2/r2)(d2/dr2)

これをΔ≡ に入れれば
Δ
= (1/r)(3-(x2+y2+z2)/r2)(d/dr)+((x2+y2+z2)/r2)(d2/dr2)
= (1/r)(2)(d/dr)+(d2/dr2)
ここで、d(r2)/dr=2r、d2(r2)/dr2=2、を用いてまとめると
Δ= (1/r2)( (d/dr)(r2・d/dr) )
となる。

Φに作用させると
ΔΦ= (1/r2)( d/dr・(r2・dΦ/dr) )

君は、微分の基本
d/dx = d/dy・dy/dx
（fg）’= f’g + fg’
を覚えるべきなのです。

お礼

回答ありがとうございました。
ご忠告感謝します。

回答No.1

Teleskope

>>ベクトル解析を良く理解していないので、困っています。<<

　この考えは今後も使う基本ですから 全力で格闘するだけの価値があります。ここを他人に頼っては駄目です、この機会に慣れましょう。極座標形式での微分の諸式。

http://www.lbm.go.jp/toda/physics/vector/node10.html

参考URL：

http://www.lbm.go.jp/toda/physics/vector/node10.html

お礼

その通りと思います。
専門外であるのとブランクがあったため初心者になっていました。頑張ります。