層流速度分布について

質問

流体の問題なのですが…

非圧縮性粘性流体が水平円管内を定常流れで層流になって流れるとするとき、
円管内の層流速度分布を求めたい。

参考書などを調べたところ
管内速度Ｖz(半径r0の円)は
Ｖz＝－(1/4μ)(dp/dz)(r0^2－r^2)
とありました。(多分、この式だと思います)

このことから円管内の速度分布は回転放物面であると
考えられる、とあるのですが、
なぜこの式が出てきて、この式から回転放物面と分かるのでしょうか？

また、速度分布を求めよと言われた場合
これは式で表すのでしょうか？それともグラフにするのでしょうか？

流体力学の知識がほとんどないため、全く分かりません…。
うまく伝えられないのですが、どなたか解説お願いします。

回答No.2

ElectricGamo · ベストアンサー

補足です。

解き方ですが、最初に変形します。

　(d＾2Vz/dr＾2)＋(1/r)dVz/dr＝(1/μ)dp/dz

と

　(1/r)×d(r×(dVz/dr))/dr=(1/μ)dp/dz　　　　(1)

は同じですよね。(1)式でR(r)=r×(dVz/dr)と置くと

　(1/r)×dR(r)/dr=(1/μ)dp/dz

ですから、dR(r)/dr=(1/μ)dp/dz×r です。これを解くと

　R(r)=(1/2μ)dp/dz×r^2+A

です。R(r)=r×(dVz/dr)と置いてるので戻すと

　r×(dVz/dr)=(1/2μ)dp/dz×r^2+A → dVz/dr = (1/2μ)dp/dz×r+A/r

これより

　Vz=(1/4μ)dp/dz×r^2+Alogr+B　　　(2)

が出てきます。

>あと、境界条件のｒ＝0のときMAXになるというのはなぜ分かるのでしょうか？実験結果からなのでしょうか？

このURLのｒ＝0でMAXという条件は適切ではないかも知れませんね。別にMAXである必要はなくて、流れが有限速度になる必要があります。この世の中の流れは有限の速度ですので、A=0でないとAlogrの項が円管の中央のr=0で－∞になり困ります。ですので A=0でないといけません。

後は壁面で速度がゼロの条件(r=r0: Vz=0)からBの値が出てきます。

お礼

回答ありがとうございます。
何度もすみません。

計算してみたところ、なんとか無事に解けました。
もっと練習してスラスラ解けるように頑張ります(解き方のセンスなのかもしれませんが…)

>この世の中の流れは有限の速度ですので、A=0でないとAlogrの項が円管の中央のr=0で－∞になり困ります。ですので A=0でないといけません。

なるほどです。
確かに流れの速度がは無限にはならないですね。

こうして考えてみると流体の世界は面白いです。
もっと勉強してみます。

何度も回答ありがとうございました。

回答No.1

ElectricGamo

これは流体力学の最初の頃に習うもので、ハーゲン・ポアズイユ流といいます。円筒座標系のナビエ・ストークス方程式から導け出せます。

ここで数式を書いてもいいですが、google などで「ハーゲン・ポアズイユ流れ」と入れれば分かり安く書かれた解説ページが出てきますのでそちらがいいでしょう。

例えば、検索で出てくる次のURLではナビエ・ストークス方程式の導出からハーゲン・ポアズイユ流までよく解説されています。

http://irws.eng.niigata-u.ac.jp/~chem/itou/fl/fl4.html

>また、速度分布を求めよと言われた場合
>これは式で表すのでしょうか？それともグラフにするのでしょうか？

Vz＝－(1/4μ)(dp/dz)(r0^2－r^2)

これがまさに速度分布です。

お礼

回答ありがとうございます。
速度分布を表す'式'なのですね～。

HP見てみました。
参考書にも載っていたのですが、ナビエ・ストークスの方程式から
(d＾2Vz/dr＾2)＋(1/r)dVz/dr＝(1/μ)dp/dz

が出てくるのはなんとか理解できました。
しかし何度解いても、一般解
Vz＝(1/4μ)(dp/dz)r＾2＋Ａlogr＋Ｂ
が出てこないのですが…；

あと、境界条件のｒ＝0のときMAXになるというのはなぜ分かるのでしょうか？実験結果からなのでしょうか？

もし良かったら補足をお願いします。
知識が薄く申し訳ありません。