流体力学の粘性応力における体積変化の式について

質問

粘性応力の式において、垂直方向の応力に関して、体積変化を表す項があるかと思います。

(∂u/∂x)+(∂v/∂y)+(∂w/∂z)=div u

この式がどのようにして導出されたのかがよくわかりません。
図形的にはどのようなイメージなのでしょうか？

あと、div u(vと書いてある時もあります)についてなのですが、これは何なのでしょうか？
せん断方向の応力を考える時に、流体内が速度勾配が生じる・・・などと流体力学の本には書いてあるのですが、これと同じように流体内に生じる速度なのでしょうか？

さらに、この速度ベクトルuがu(u,v,w)のように成分を持っているのはなぜなのでしょうか？

わからないことだらけでお恥ずかしいのですが、どなたか教えていただけませんでしょうか。
よろしくお願い致します。

回答No.3

First_Noel · ベストアンサー

＃１です．

間違いがありましたので，訂正致します．（下記は訂正後です．）

流入時には，密度ρ，速度ｕ
流出時には，密度ρ’＝ρ＋（∂ρ／∂ｘ）ｄｘ，ｕ’＝ｕ＋（∂ｕ／∂ｘ）ｄｘ

微小要素内で，ｘ軸に垂直な面（面積ｄｙｄｚ）を介した流体の増減は，
ρ’ｕ’ｄｙｄｚ　－　ρｕｄｙｄｚ

上記をｘ，ｙ，ｚについて合わせて式を展開しますが，その過程で，
ρを一定とする，両辺に出て来るｄｘｄｙｄｚは約分する，とすれば，
ご質問の式が導かれます．

要するにこの式は，微小要素内の「質量保存則」を表していることになります．
（この式自体は，粘性流体に限らず，一般的なものです．）

あと，ｄｉｖについて今一度．
お風呂の浴槽を考えて下さい．これが微小要素（又は検査領域）であるとお考え下さい．

栓をして満杯に溜めているとします．
そこへ蛇口から更に水を入れます．これが流入です．
溢れた水は浴槽からこぼれだします．これが流出です．
このとき，栓をしたままであれば，ｄｉｖは０です．
しかし栓を開けるとｄｉｖが０ではなくなります．
このとき，もし水位が下がったり，或いは逆に依然溢れ続けていたりしても，
蛇口，排水口，溢れ出す分，の合計は０になっています．
ご質問の式では，
蛇口と溢れ出す分が左辺に，排水口の分が右辺になっています．

お礼

回答ありがとうございます。

質量保存の式なのですね。
もう一度本などを読み直してみます。

回答No.5

noname#43438

で、あるとすると、
(∂u/∂x)+(∂v/∂y)+(∂w/∂z)＝ｆの単位体積での変化が、
ｄｉｖｕ。
ｄｉｖｆ＝ｆの単位立方への流出入？

お礼

回答ありがとうございます。

他の方の回答なども見ながら考えたのですが、単位体積当たりの増加率、流出入などのような気がしています。

回答No.4

noname#43438

> わからないことだらけでお恥ずかしいのですが、どなたか教えていただけませんでしょうか。
偏微分は理解出来ているでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

偏微分についてですが、私が理解しているのはこの程度です。

変数が２つ以上ある時に片方の変数を固定して、もう片方のみを微分することを偏微分という。
これに対して、すべての変数を同時に微分することを全微分といい、
たとえば、関数f(x,y)に対して、
df＝(∂f/∂x)dx+(∂f/∂y)dy
と表す。
(∂f/∂x)は、xの単位x当たりの変化に対するfの変化
(∂f/∂x)dxは、xがdx変化した時に対するfの変化

これでは不十分でしょうか・・・。
何かありましたらご意見等よろしくお願い致します。

回答No.2

Meowth

流体中にある直方体を考えて、この直方体が流れとともに
どのように変形するかを考えます。
簡単のため、まず2次元で考えます。
P(x,y)　　　流体の速度（u,v)
Q(x+dx,y) 流体の速度（u+(∂u/∂x)dx,v+(∂v/∂x)dx)
R(x,y+dy)　　流体の速度（u+(∂u/∂y)dy、v+(∂v/∂y)dｙ)
S(x+dx,y+dy)　流体の速度（u+∂u/∂x)dx+(∂u/∂y)dy,v+(∂v/∂x)dx+(∂v/∂y)dｙ)
δt後に各点の移動先を求めます。
P'(x+uδt,y+vδt)　　
Q'(x+dx+(u+(∂u/∂x)dx)δt,y+(v+(∂v/∂x)dx)δt)
R'(x+(u+(∂u/∂y)dy)δt、y+dy+(v+(∂v/∂y)dｙ)δt)　
これより微小線素ベクトルPQ　PR
PQ=(dx,0)
PR=(0,dy)
がδt後にどうなるかを調べると、
P'Q'=(dx+(∂u/∂x)dxδt,(∂v/∂x)dxδt)
P'R'= ((∂u/∂y)dy)δt、dy+(∂v/∂y)dｙδt)
変形前の面積はPQ×PR＝dxdy
変形後の面積はP'Q×P'R'　　(外積)
高次の微小量を省略して計算すると、
(dx+(∂u/∂x)dxδt,(∂v/∂x)dxδt)×((∂u/∂y)dy)δt、dy+(∂v/∂y)dｙδt)　
=｛(dx+(∂u/∂x)dxδt)(dy+(∂v/∂y)dｙδt)｝
-{((∂v/∂x)dxδt)((∂u/∂y)dy)δt)}
= dx dy+(∂v/∂y) dx dｙδt+(∂u/∂x)dx dyδt
=dx dy+{ (∂u/∂x)+ (∂v/∂y)} dx dyδt
面積の増加率は、
{ (∂u/∂x)+ (∂v/∂y)}
となります。3次元では、速度のw成分と、（x,y,z+dz）を考え、
そのδt後の位置から、移動分の、3つのベクトルのスカラー積をもとめることで体積の変化が出ます。
{ (∂u/∂x)+ (∂v/∂y) + (∂w/∂z)}
となります。
このように、この式は、流体粒子と一緒に動くとして考えれば、（ラングランジェ的に見ると）、体積の増加率になります。検査体積を固定して、境界面からの出入りを考えれば、検査面からの湧き出し量を表すことになります。

この速度ベクトルuがu(u,v,w)のように成分を持っているのはなぜなのでしょうか？
速度ベクトルは3次元ベクトルですから、3つの成分を持ちます。

お礼

回答ありがとうございます。

自分で紙に書いたりして実際に導いてみます。

回答No.1

First_Noel

流体力学の式は，微小要素を考えると理解することが出来ます．
（ご質問の式はρが一定だとしていると思いますが，一般的に書きます．）

例えば微小要素として，一辺がｄｘ，ｄｙ，ｄｚの直方体を考えます．
適当にｘ，ｙ，ｚ軸を考えます．

例えばｘ軸に垂直な面について，一方に流入，一方から流出と考えまうｓ．
流入時には，密度ρ，速度ｕ，
流出時には，密度ρ＋（∂ρ／∂ｘ），速度ｕ＋（∂ｕ／∂ｘ），
とします．するとこの微小要素内で，ｘ軸に垂直な面を介した流体の増減は，
[ρ＋（∂ρ／∂ｘ）][速度ｕ＋（∂ｕ／∂ｘ）]　－　ρｕ
ですね．
それで，偏微分のところは二次以上の微小項を無視する，とします．

これをｘ，ｙ，ｚ方向について纏めれば，式を導けるでしょう．

ｄｉｖは「湧き出し」「吸い込み」で，微小要素内で流体の湧き出しや吸い込みがあると０ではなくなります．

つまり，微小要素内の流体の「量」の釣り合い式が，ご質問の式です．