流体力学 円柱まわりの流れ

質問

流体の粘性は考慮しません。
円柱まわりの流れで、円柱の中心に原点をおいた極座標系で円柱をπ方向に速度U動かしたとき、円柱表面での流体の速度のｒ方向成分が　
-Ucosθになる理由を教えてください。
ただし円柱は極座標の垂直方向に無限に長いとします。

一様流の中に円柱をおいた場合、流体は円柱表面に沿って流れてr方向には速度成分が存在しないと思うのですが、なぜですか？

回答No.2

Meowth · ベストアンサー

円柱の中心に原点をおいた極座標系で円柱をπ方向に速度U動かしたとき
(1)座標原点が円柱の中心に固定している場合（運動する座標系）
(2)空間に固定されている場合（中心はt=0で原点）で表現がかわる。
(1)の場合、r方向には速度成分が存在しない
（２）の場合、
t=0での微小変化を考えれば、
(r、θ）の点での　法線ベクトルは er
t=δtでは境界上の点は-Uexδt=-Ucosθδter+Usinθδteθ
移動する。法線成分
-Ucosθδ
はuに等しい。
または、
境界の式は
(rcosθ+Ut)^2+(rsinθ)^2-R^2=0
[一般にf(t,r,θ)=0]
t=t+dt後、境界上のt=tでの境界上の流体粒子がt=t+dtでも境界上にあるからr方向、θ方向の速度成分をu,vとすれば、
((r+udt)cos(θ+vdt)+U(t+dt))^2+((r+udt)sin(θ+vdt))^2-R^2=0
[一般にf(t+dt,r+udt,θ+vdt)=0]
整理すれば、高次の項を省略して
[または、∂f/∂t+u∂f/∂r+v∂f/∂θdθ=0]
簡単のため、t=0おくと
u+Ucosθ=0
t=0以外では、位置がずれていくので、成り立たない
（極座標をつかう意味がない）

＞なぜですか
といわれれば、
境界での流速の法線速度成分は境界の[法線方向の]移動速度と等しい
または、
境界上のt=tでの境界上の流体粒子がt=t+dtでも境界上にあるから
[境界で隙間があいたりめり込んだりしない]
から

回答No.1

nichiyouke

「流体は円柱表面に沿って流れてr方向には速度成分が存在しない」

は正しくは、

「流体は円柱表面に沿って流れてr方向には相対速度成分が存在しない」

です。つまり円柱自身からみるとｒ方向には流体の速度は０です。
しかし、円柱が静止系からみて速度Ｕで動くので、
静止系からみると円柱の表面での流体の速度のｒ成分はーＵｃｏｓθになります。