衝突寸前の相対速度

質問

二つの質量m_1,m_2の物体が、相対距離に比例する引力を受けて運動する。相対距離aの位置から静かに離したとき、衝突する直前の相対速度は？

と言う問題なのですが・・・。
引力はだんだん弱まっていくので微小時間Δｔの間に進む距離を考えてやったのですが、式がめちゃくちゃになってしまいました。どのように考えればよいでしょうか。分かる方回答お願いします！

回答No.2

Mr_Holland · ベストアンサー

これは、質点系の問題でしょうか。
　私なら次のようの解きます。

１）「質点系が孤立していて外力を受けない場合、その運動量は一定」ですから、２物体が衝突するときの速度をv1,v2としますと、初期状態はv1=v2=0ですから、

　　m1v1+m2v2=0　　・・・・（Ａ）

が求められます。

２）次に、「質点系が孤立していて外力を受けない場合、その運動エネルギと内力に対する位置エネルギの和の変化分は０」となりますから、２質点の相対距離をｒ、引力を－ｋｒ（ｋ：比例定数)としますと、

　　1/2・m1v1^2+1/2・m2v2^2+2[r=0→a]∫(-kr)dr＝０　　・・・（Ｂ）

となりますから、式（Ａ）と（Ｂ）から、

　　v1= a√[2km2/{m1(m1+m2)}]
　　v2=-a√[2km1/{m2(m1+m2)}]

と求められますから、２物体の相対距離は、

　　v1-v2＝a√{2k(m1+m2)/(m1m2)}

となります。

お礼

回答ありがとうございました!!!

この問題は運動量のほうに行くんですね！気づきませんでした(^^;

回答No.3

Mr_Holland

＃２です。
　式に間違いがありましたので、次のように訂正させてください。

＞　　1/2・m1v1^2+1/2・m2v2^2+2[r=0→a]∫(-kr)dr＝０　　・・・（Ｂ）
(正)　 1/2・m1v1^2+1/2・m2v2^2+[r=0→a]∫(-kr)dr＝０　　（積分の前の２を削除。)

＞　　v1= a√[2km2/{m1(m1+m2)}]
(正)　v1= ±a√[km2/{m1(m1+m2)}]　　（ｋの前の2を削除。複号を追加。)

＞　　v2=-a√[2km1/{m2(m1+m2)}]
(正)　v2=±a√[km1/{m2(m1+m2)}]　（複号は反転して同順)　（ｋの前の2を削除。複号を追加。)

＞　　v1-v2＝a√{2k(m1+m2)/(m1m2)}
(正)　|v1-v2|＝a√{k(m1+m2)/(m1m2)}　　（ｋの前の2を削除。絶対値記号を追加。)

　なお、余談ながら、この系の換算質量をμとおくと、
　　1/μ＝1/m1+1/m2
という関係が成り立ちますので、上記の衝突時の相対速度は、次のように簡単に書けるようになります。
　　|v1-v2|＝a√(k/μ)

お礼

わざわざありがとうございました！

そういえば授業でも換算質量がでてきました。

回答No.1

noname#40706

相対距離に比例する引力・・・・・・・

距離をｘ、比例定数をｋ　とすると

引力Ｆは

Ｆ＝ｋｘ　ですか？

ん？　どこかでみたような式ですね・・・・・

私にはこの程度のことしか思いつかないですが・・・・・

お礼

回答ありがとうございました。

単振動っぽいんですが力が物体でちがうんですよね・・・。