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衝突寸前の相対速度

二つの質量m_1,m_2の物体が、相対距離に比例する引力を受けて運動する。相対距離aの位置から静かに離したとき、衝突する直前の相対速度は? と言う問題なのですが・・・。 引力はだんだん弱まっていくので微小時間Δtの間に進む距離を考えてやったのですが、式がめちゃくちゃになってしまいました。どのように考えればよいでしょうか。分かる方回答お願いします!

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  • 回答No.2

 これは、質点系の問題でしょうか。  私なら次のようの解きます。 1)「質点系が孤立していて外力を受けない場合、その運動量は一定」ですから、2物体が衝突するときの速度をv1,v2としますと、初期状態はv1=v2=0ですから、   m1v1+m2v2=0  ・・・・(A) が求められます。 2)次に、「質点系が孤立していて外力を受けない場合、その運動エネルギと内力に対する位置エネルギの和の変化分は0」となりますから、2質点の相対距離をr、引力を-kr(k:比例定数)としますと、   1/2・m1v1^2+1/2・m2v2^2+2[r=0→a]∫(-kr)dr=0  ・・・(B) となりますから、式(A)と(B)から、   v1= a√[2km2/{m1(m1+m2)}]   v2=-a√[2km1/{m2(m1+m2)}] と求められますから、2物体の相対距離は、   v1-v2=a√{2k(m1+m2)/(m1m2)} となります。

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました!!! この問題は運動量のほうに行くんですね!気づきませんでした(^^;

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  • 回答No.3

 #2です。  式に間違いがありましたので、次のように訂正させてください。 >  1/2・m1v1^2+1/2・m2v2^2+2[r=0→a]∫(-kr)dr=0  ・・・(B) (正)  1/2・m1v1^2+1/2・m2v2^2+[r=0→a]∫(-kr)dr=0  (積分の前の2を削除。) >  v1= a√[2km2/{m1(m1+m2)}] (正) v1= ±a√[km2/{m1(m1+m2)}]  (kの前の2を削除。複号を追加。) >  v2=-a√[2km1/{m2(m1+m2)}] (正) v2=±a√[km1/{m2(m1+m2)}] (複号は反転して同順) (kの前の2を削除。複号を追加。) >  v1-v2=a√{2k(m1+m2)/(m1m2)} (正) |v1-v2|=a√{k(m1+m2)/(m1m2)}  (kの前の2を削除。絶対値記号を追加。)  なお、余談ながら、この系の換算質量をμとおくと、   1/μ=1/m1+1/m2 という関係が成り立ちますので、上記の衝突時の相対速度は、次のように簡単に書けるようになります。   |v1-v2|=a√(k/μ)

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質問者からのお礼

わざわざありがとうございました! そういえば授業でも換算質量がでてきました。

  • 回答No.1
noname#40706
noname#40706

相対距離に比例する引力・・・・・・・ 距離をx、比例定数をk とすると 引力Fは F=kx ですか? ん? どこかでみたような式ですね・・・・・ 私にはこの程度のことしか思いつかないですが・・・・・

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質問者からのお礼

回答ありがとうございました。 単振動っぽいんですが力が物体でちがうんですよね・・・。

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