衝突速度

質問

ある資格をとるために教養物理の本を学習していますが、読んでわかったような気がしても、問題を解くことに全然つながらないんです、、
半径がaで質量がmの星Aと、半径がbで質量がN倍の星Bが
遠く離れて静止した状態から重力によって接近します。
衝突するときの相対速度は、ケプラーの惑星の運動の考えからわかるのでしょうか。

回答No.1

BLUEPIXY · ベストアンサー

最近似た質問がありました

参考URL：

http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=1710583

お礼

ありがとうございます。
けど、お答がばらばらなんですね、、

補足

とても役立ちました。

回答No.5

moby_dick

すみません。この場合は重心座標系は必要なかったです。

元の運動方程式、mα_A=-GmM/r^2、Mα_B=GmM/r^2から、mα_A+Mα_B=0
これから、mv_A+Mv_B=0
これと、v_A-v_B=√(2G(N+1)m/(a+b))で、

回答No.4

moby_dick

＞問題では最初a,bお互いの速度が求められているんですけど

ＡとＢのそれぞれの衝突時の速度を求めることでしょうか？
それなら、簡単ですが

座標をＡとＢの重心座標系でとります。（即ち、ＡとＢ全体の重心を座標原点にする。）
そうすると、(mx_A+Mx_B)/(m+M)=0で、(mv_A+Mv_B)/(m+M)=0です。

それで、衝突時のＡとＢの速度、v_Aとv_Bは、次から求まります。
(mv_A+Mv_B)/(m+M)=0、v_A-v_B=√(2G(N+1)m/(a+b))

お礼

すみません、難しすぎることをお願いしたのなら誤ります、ごめんなさい。

補足

おかげさまでレポートがだいぶできました。提出は今週いっぱいなんです。それであと一つお願いなんですが、見かけ上の質量mM/(M+m)がなぜ必要なのかがまだ全然わかりません。。

回答No.3

moby_dick

先ず、この二体問題の運動方程式がある訳です。
それを平面（2次元）運動の問題として解いた結果が、ケプラーの惑星の（楕円）運動です。
ここの問題は直線（１次元）運動の問題ですから、ケプラーの運動の結果の式を使えば答は出ます。

１次元で割と簡単ですから運動方程式から解き方を説明します。

Bの質量Nmを都合でMとします。
Aの座標をx_A、Bの座標をx_B、x_B<x_A（Aの方が軸上先）とします。
Bから見たAの相対位置はr=x_A-x_B、相対速度はv=v_A-v_B、相対加速度はα=α_A-α_B

元の運動方程式は、
mα_A=-GmM/r^2、Mα_B=GmM/r^2

相対加速度にするため、
α_A=-GM/r^2,α_B=Gm/r^2

この2式から、
α=α_A-α_B=-G(M+m)/r^2
(mM/(M+m))α=-GmM/r^2
（上式は見かけ上の質量mM/(M+m)に天体間の力が掛かるのが分かり易いように変形しただけ。記憶するとよい。）

解くためにdrで積分する、
∫((mM/(M+m))α)dr=∫(-GmM/r^2)dr
(mM/(M+m))∫αdr=-GmM∫(1/r^2)dr
(mM/(M+m))∫vdv=-GmM∫(1/r^2)dr
(mM/(M+m))(1/2)v^2=-GmM(-(1/r)+C
(1/2)(mM/(M+m))v^2=GmM/r+C

遠く離れて静止だから、r～∞、v=0として、C=0、
よって、(1/2)(mM/(M+m))v^2=GmM/r・・・（ケプラーの楕円の解にこの式相当がある筈）

衝突するときだからr=a+b、
よって、
v=√(2G(M+m)/(a+b))=√(2G(N+1)m/(a+b))

補足

ありがとうございます、これと同じ説明が本にあるので、この公式が大切らしいことは何となくわかります、けど、見かけって何なのかどの本にも書いてなくて意味がわからなくて、、質量が速度で変化するんじゃないですよね。。位置エネルギーが<0とするのもどうしてなのでしょう。。。
問題では最初a,bお互いの速度が求められているんですけど、、道は遠すぎ、、

回答No.2

sqwe-ir

物理運動と天体運行は分けて考えた方が楽だと思う。＾＾；

お礼

そうみたいですね、見かけの質量を使う必要はないと再提出になりました。

補足

向こうの、どれがほんとなんでしょう？
ああ、私は中学理科から始めた方がいいのかなあ‥