衝突 運動量

質問

静止している質量1.0kgの小球Bに、質量3,0kgの小球Aを、右向きの速さで正面衝突させる。
2球間の跳ね返り係数が1のとき、衝突後のAおよびBの速度を求めよ。

衝突時、Aに-f、Bにfの力がかかり、運動方程式が
ma1=-f、3ma2=f
となり
ma1=-3ma2を両辺tで衝突してから終わるまでのΔtの範囲で積分すると、
m(vA-0)=-m(vB-0)
となるのは正しいでしょうか？

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

正しくないです。

1) ma1=-f、3ma2=f の a1, a2 は AとBの加速度でしょうか？
2) ma1=-f、3ma2=f は、まあいいとして
3) m(vA-0)=-m(vB-0)

は積分でvAの初速度を勘定に入れていないし、積分で3 が消えてしまっています。
積分から出てくるのは運動量保存則です。つまり

衝突前の速さを Va, Vb
衝突後の速さを Va' Vb'
球の質量を Ma, Mb とすると
とすると、

MaΔVa = - MbΔVb ⇒ MaVa+Mbvb = MaVa'+MbVb'

この問題では Vb = 0 Ma = 3, Mb = 1 なので

運動量保存則から

3Va = 3Va' + Vb'

跳ね返り係数の定義から

Vb' - Va' = Va ⇒ Vb' = Va + Va'

これを上の式に代入すると

3Va = 3Va' + Va' + Va ⇒ 2Va = 4Va' ⇒ Va' = (1/2)Va ⇒ Vb' = (3/2)Va

お礼

説明足らずやミスなど申し訳ありません
詳しい説明のおかげですっきりしました
ありがとうございました

回答No.2

rnakamra

>ma1=-3ma2を両辺tで衝突してから終わるまでのΔtの範囲で積分すると、
>m(vA-0)=-m(vB-0)
とはなりません。
すくなくとも右辺の係数の"3"がなくなっていますよ。
実際にはfは時間により変化するのですが、その場合でも積分は問題なく行えます。(運動量保存の式がそのまま得られます)

あと、勘違いをしているようですが衝突後のAの速度はゼロではありません。
その数値を別の条件から出さないといけないのです。

跳ね返り係数が1,これが必要な条件です。
Aの衝突後の速度をvA',Bの衝突後の速度をvB'としますと次の方法でvA',vB'を計算できます。
方法1:
跳ね返り係数の定義に従い式を立てる。
跳ね返り係数e=(vB'-vA')/(vA-vB)
この式に当てはめてみましょう。

方法2:
跳ね返り係数が1というのは完全弾性衝突を現します。完全弾性衝突においては運動エネルギーの和が保存されます。
運動エネルギーの和を求める式を衝突前後で求めましょう。

お礼

3についてはミスです
すみません
詳しくありがとうございました

回答No.1

Satan94

運動量の問題ですよね。
運動量は 質量×速度 にて求まりますので小球Aの運動量は 3v となります。
一方、小球Bは静止していますので運動量は 0 。
この2つが跳ね返り係数 1 で正面衝突すると運動量が入れ替わることになりますから、衝突後の小球Aの運動量は 0 、小球Bは 3v 。
小球Aは質量はあるが運動量がない→小球Aの速度は 0 。
また、小球Bの質量は 1 なので 運動量÷質量 つまり 3v÷1＝3v が小球Bの速度となります。

お礼

分かりました
ありがとうございました