楕円軌道での運動量・エネルギー

質問

惑星(質量m)が太陽(質量M、半径R)を中心として
楕円運動（長径a、短径b)する時の
角運動量と全エネルギーEの出し方を教えてください。

円軌道の場合は判りました。
楕円軌道という事でケプラーの法則を使うのは判ったのですが・・・。

宜しくお願いします。

回答No.6

noname#19341 · ベストアンサー

今度は楕円の基礎。http://www.d1.dion.ne.jp/~ksanuki/daen.htm

http://www004.upp.so-net.ne.jp/s_honma/area/ellipse.htm

計算天文学IIの
ここのハンドアウトのHTMLに式は全部乗ってる。

http://grape.astron.s.u-tokyo.ac.jp/~makino/kougi/keisan_tenmongakuII_2004/index.html

これも、プログラム目的のもの。

分かりやすい本を数冊買うのが
解決に一番早いと思う。

参考URL：

http://grape.astron.s.u-tokyo.ac.jp/~makino/kougi/keisan_tenmongakuII/note4/note4-e.html

お礼

ご丁寧に本当に有難うございます。
　まだ全部を理解しておりませんが、回答して頂いたのを参考に勉強いたします。

回答No.5

noname#19341

それと、万有引力による２個の円運動。
これは、軌道を理解したのとちがーよ。＾＿＾；

ここから、
円運動にバック！
http://www12.plala.or.jp/ksp/formula/physFormula/html/node19.html

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%AD%89%E9%80%9F%E5%86%86%E9%81%8B%E5%8B%95

http://www.narasaki.co.jp/quiz/q_021.htm

http://www.ishikawa-nct.ac.jp/lab/G/asoka/www/tamsproject1/fgtext-07.pdf#search=%22%E5%86%86%E9%81%8B%E5%8B%95%22

ケプラー式は、万有引力による２個の
楕円運動。

位置速度、距離による重力変化、力向きだから、
惑星から見たもの。
外からも見た方がいーよ。

回答No.4

noname#19341

いいかい？
３６０日で一周する軌道を書く。
この円周長を出す。

この物体は、直線ABの、
点A、点Bを３６０日で進む。（等速度運動）

これをまた楕円に戻す。
X上と、Y上での、見かけの移動量が違う。

つまり、X上と、Y上１度辺りの円周の長さを出す。
移動角度を出す。
面積を出す。
１度での円周長を出す。

どー見ても、質量はいらねーだろ？

ここから、ケプラーに入る。
いきなりケプラーは危険だ。

回答No.3

noname#19341

今度は計算であそぼーよ＾＾

円を半径まで切ってびろーんと広げる。
と、
半径が高さ。
円周が底辺になる。

半径５
円周３１．４

高さ５、底辺、３１．４

５*３１．４/２＝７８．５

半径５
５＾２*３．１４＝７８．５

＾０＾

このあっぱらぱー三角形がこーなる。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%B5%E5%BA%A7%E6%A8%99%E7%B3%BB

これは、プログラム式と同じだから円の描けるプログラムを探すといーぞ。

も、一回円をやり直せ。（徹底的に積分を使え）
それと、＃１さんの楕円。
プログラムを使って描け。

ここをもう一度やり直す。

＃２さんの
(7)θ'=h/r^2は、前書いたろ？
E=(1/2)m(r'^2+r^2θ'^2)+GmM/r
ここいらもケプラー

馬鹿な俺は、
点Pを円で計算、角度１０度で面積を出す。＾＾
問題は、
１度辺りのX,Yの変化が、
円の時とどう違うかだろう。

楕円上を軌道させよ。

Aの１度移動の速度と、Bの１度の速度（円周）
は違うだろう？

もちろん、
Vは一定だから
Aでは細い三角、Bでは太い三角になる。
この面積は同じだそうだ。

とりあえず、
足場を構築する事。

理解せずに前には行くな。

これは、算数の遊びだよん。＾＾

回答No.2

KENZOU

物理学を専攻されているとのことですから，ある程度省略して書きますが(←大抵の力学のテキストに載っていると思いますので，それらで補充してください），
惑星の運動をx-y平面内に限定されているとします。太陽を原点，惑星の座標を(x,y)，惑星は反時計回りに周回しており，x軸とのなす角をθとします。
(1)x=rcosθ，y=rsinθ
惑星の運動エネルギーをTとすると
(2)T=(1/2)m(r'^2+r^2θ'^2)
ラグランジアンをL，ポテンシャルエネルギーをU(r)とすると
(3)L=T-U=(1/2)m(r'^2+r^2θ'^2)-U(r)
Euler-Lagrangeの運動方程式より
(4)(∂L/∂r)-d/dt(∂L/∂r')=mrθ'^2-U'(r)-mr''=0
(5)(∂L/∂θ)-d/dt(∂L/∂θ')=-d/dt(mr^2θ')=0
ここで(5)はz成分の角運動量(lz=mr^2θ')保存則をあらわしていますね。ここでlzの値をmhと書くことにしますと
(7)θ'=h/r^2
これを(4)に代入するとrに対する運動方程式(8)が得られます。
(8)mr''=m(h^2/r^3)-U'(r)
ここで運動方程式を見やすくするために次の変数変換を施します。　
(9)u=1/r，r^2U'(r)=mh^2f(r)とおくと，軌道方程式として
(10)d^2u/dθ^2+u=f(1/u)
が得られる。fはポテンシャルの形によって決まる関数です。そこでポテンシャルとして万有引力ポテンシャルをとり，U(r)=－GmM/rとします。今，M≫mですので，換算質量μはμ=mとおくことができますので，以下のmは換算質量と読み替えてください。(9)よりf(r)=GM/h^2。これを(10)に入れて
(11)d^2u/dθ^2+u=GM/h^2
この微分方程式を解くと軌道の方程式
(12)r=l/(1+εcosθ) (ε>0，l=h^2/GM）
が得られます。εは離心率で楕円はε<1。
相対運動のエネルギーをEとするとE=T+Uですから
E=(1/2)m(r'^2+r^2θ'^2)+GmM/r　(m:換算質量)　(7)を代入して整理すると
(13)(m/2)r'^2=(Er^2+GmMr-(1/2)mh^2)/r^2
ところでr'はrが極大(θ=π)，極小(θ=0)のときにr'=0となりますから，(12)よりrmax=l/(1-ε)，rmin=l/(1+ε)
(13)で左辺を０とした場合，右辺のrの2次方程式はrmax,rminの2根を持つことになりますから，根と係数の関係より
(14)rmax+rmin=-GmM/E，rmax・rmin=-mh^2/2E
これから
E=-(GmM/2l)(1-ε^2)が得られます。
ちょっとゴタゴタしましたが力学のテキストを参照しながらフォローしてみてください。尚，山内恭彦他編大学演習力学(裳華房)も参考になると思います。

お礼

まだ大学物理をはじめたばかりなので、ラグランジアン等は習っていないのです・・。力学のテキスト参考にしてみます。
　有難うございました。

回答No.1

toranekosan222

高校レベルでの話でしょうか？

それより上のレベルの話であれば…
楕円軌道自体が分かっているのであれば、
軌道上での速度ベクトルの方向は算出可能なので、
早さが分かれば、そこから角運動量を出すことが
可能なはずです。
速度の絶対値は、全エネルギーから算出が可能です。
全エネルギーに関しては、楕円軌道上の点によって
ポテンシャルが算出可能なので、そこから
求めることが可能です。

どちらにしろ初期状態の情報が無いので決定できない
パラメーターが生じます。

楕円の焦点を求める方法は
(sqrt(a^2-b^2),0)
で、
軌道上の点は角速度をwとして
(1/a*coswt,1/b*sinwt)

軌道上の速度ベクトルは
w(-1/a*sinwt,1/b*coswt)

角運動量を求めることが出来る…

参考URL：

http://www.crossroad.jp/mathnavi/kousiki/zutohouteisiki/daen-no-houteisiki.html

お礼

角運動量の求め方は判りました。
　有難うございます。